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即－(4x＋2x－6)>0，∴2x＋x－3<0，∴解集为?x?－ ???2 2 2 ?? ?. ?? ???3 [答案] ?x?－ ???2 ?? ? ?? 考向1 函数零点的求解与判断 【典例1】 (2014·湖北高考改编)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为________． [解析] 设x＜0，则－x＞0， ∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)－3(－x)]＝－x－3x， 求函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点等于求方程f(x)＝－3＋x的解． 当x≥0时，x－3x＝－3＋x，解得x1＝3，x2＝1. 当x<0时，－x－3x＝－3＋x，解得x3＝－2－7(正值舍去)． [答案] {－2－7，1,3} 【规律方法】 1．求函数的零点，从代数角度思考就是解方程f(x)＝0的解，从几何角度，思考就是研究其图象与x轴交点，有时也转化为f(x)＝g(x)的形式，此时是求f(x)，g(x)图象交点的横坐标． 2．函数零点的判定常用方法有(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程． 22 2 2 2 5 【变式训练1】 (2013·天津高考改编)函数f(x)＝2|log0.5x|－1的零点有________个． [解析] 令f(x)＝2|log0.5x|－1＝0， xx?1?x可得|log0.5x|＝??. ?2? ?1?x设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝??，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象． ?2? 可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f(x)有2个零点． [答案] 2 考向2 二分法及其应用 【典例2】 若函数f(x)＝x＋x－2x－2的一个正数零点附近的函数值如下(精确度0.1)： 3 2 f(1)＝－2 f(1.375)＝－0.260 32f(1.5)＝0.625 f(1.437 5)＝0.162 f(1.25)＝－0.984 f(1.406 25)＝－0.054 那么方程x＋x－2x－2＝0的一个近似根(保留3位有效数字)为________． [解析] 根据表格知f(1.406 25)·f(1.437 5)<0，即函数f(x)的零点在区间(1.406 25,1.437 5)内， 且1.437 5－1.406 25＝0.031 25<0.1， 所以方程x＋x－2x－2＝0的一个近似根为1.41. [答案] 1.41(答案不唯一) 【规律方法】 1．解答本题一要从图表中寻找数量信息，二要注意“精确度”的含义，切不可与“精确到”混淆． 2．(1)用二分法求函数零点的近似解必须满足①y＝f(x)的图象在[a，b]内连续不间断，②f(a)·f(b)＜0.(2)在第一步中，尽量使区间长度缩短， 3 2 6 以减少计算量及计算次数． 【变式训练2】 在用二分法求方程x－2x－1＝0的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该根所在的区间为________． 33 [解析] 在(1,2)内取中点x0＝，令f(x)＝x－2x－1， 2 3 ?3?27 ∵f??＝－4<0，f(2)＝8－4－1>0，f(1)＜0， ?2?8?3?∴f(x)＝0的根在?，2?内． ?2??3?[答案] ?，2? ?2? 考向3 函数零点的应用(高频考点) 命题视角 函数零点是函数值为0时的x值，即函数对应方程的解，也是函数图象与x轴交点的横坐标，也可以看作两函数图象交点的横坐标．高考主要出题角度是给出函数零点情况求参数范围． 1??－3，x∈－1，0]，x＋1【典例3】 (2014·重庆高考)已知函数f(x)＝???x， x∈0，1]，实数m的取值范围是________． 【思路点拨】 把函数零点转化为两函数图象交点情况，画出两函数图象，数形结合，分类讨论求解． [解析]由g(x)＝f(x)－mx－m＝0，即f(x)＝m(x＋1)，分别作出函数f(x)和y＝g(x)＝m(x＋1)的图象由图象可知f(1)＝1，g(x)表示过定点A(－1,0)的直线， 如图： 且g(x)＝f(x)－mx－m在(－1，1]内有且仅有两个不同的零点，则 7 当g(x)过(1,1)时，m＝12此时两个函数有两个交点，此时满足条件的m取值范围是0 2， 当g(x)过(0，－2)时，g(0)＝－2，解得m＝－2，此时两个函数有两个交点， 当g(x)与f(x)相切时，两个函数只有一个交点， 此时 1x＋1 －3＝m(x＋1)，即m(x＋1)2 ＋3(x＋1)－1＝0， 当m＝0时，x＝－2 3 ，只有1解， 当m≠0，由Δ＝9＋4m＝0得m＝－9 4，此时直线和f(x)相切， ∴要使函数有两个零点，则－94 2 . [答案] ??? －94，－2???∪??1? 0，2 ??? 【通关锦囊】 已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路： (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 【变式训练3】 (2014·连云港调研)设函数f(x)＝logx＋2 3x－a在区间(1,2)内有零点，则实数a的取值范围是________．[解析] ∵函数f(x)在区间(1,2)内有零点． 8
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