高考数学总复习 第2章 第8节 函数与方程双基自测 理（新版）苏教版必修1

∴方程log3

x＋2

＝a在区间(1,2)上有解， xx＋2x＋2

＜3，∴log32＜log3＜1. xx由1＜x＜2，得2＜所以log32

[答案] log32

记住1个口诀 用二分法求函数零点近似值的口诀为：定区间，找中点，中值计算两边看．同号去，异号算，零点落在异号间．周而复始怎么办？精确度上来判断．

做到2个防范 1.函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的实根． 2.函数

零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件．

熟记3种方法 判断函数零点个数的常用方法

1．通过解方程直接求零点． 2.根据零点存在性定理，结合函数性质来判断． 3.将函数y＝f(x)－g(x)的零点个数转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象公共点的个数来判断．

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创新探究之2函数零点的创新应用

(2013·天津高考改编)设函数f(x)＝e＋x－2，g(x)＝ln x＋x－3.若实数a，b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则g(a)，f(b)与0的大小

x2

关系是________．

[解析] 由f′(x)＝e＋1>0知f(x)是R上的增函数， 又g(x)＝ln x＋x－3的定义域为(0，＋∞)．

1

所以g′(x)＝＋2x>0，所以g(x)在(0，＋∞)上是增函数．

2

xx因为f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，所以00，所以10，g(a)<0，即f(b)>0>g(a)． [答案] g(a)<0

创新点拨：(1)本题以函数的零点为背景，综合考查函数的导数与单调性的关系，函数的零点存在性定理，所考查知识点具有隐蔽性是本题的最大特色．

(2)本题中由等量关系到不等关系的转化，考查学生的分析问题、解决问题的能力及逆向思维意识．

应对措施：(1)本题中由等量关系到不等关系的转化，暗示我们应从函数的单调性着手，进而需明确a，b的大小关系． (2)由a，b分别是函数f(x)与g(x)的零点，进而想到函数的零点存在性定理或数形结合确定a，b的大小关系．

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??a－ab，a≤b，

【类题通关】 对于实数a和b，定义运算“*”：a*b＝?2

2

设f(x)＝(2x－1)*(x－1)，且关于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有三个互

??

b－ab，a>b.不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是________．

[解析] 由定义可知，

f(x)＝???

2x－1

x，x≤0，??

－x－1x，x>0.

作出函数f(x)的图象，如图所示．

由图可知，当00，且x2＋x3＝2×2＝1，∴x2x3<4.

?令??

2x－1x＝14，解得x＝1－31＋3

??x<0，

4或x＝4

(舍去)．

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∴1－34

[答案] ?

?1－3?16，0?

??

课后限时自测 [A级 基础达标练]

一、填空题

1．(2014·徐州模拟)设函数f(x)＝???4x－4，x≤1，

?x2

－4x＋＝f(x)－log4x的零点个数为________．

?

3，x>1，

则函数g(x)[解析] 设y＝f(x)与y＝log4x，分别画出它们的图象，得3个交点．∴函数g(x)＝f(x)－log4x的零点个数为3. [答案] 3

2．函数y＝??1?3??|x|

?

－m有两个零点，则m的取值范围是________．

[解析] 由题意知，方程??1?3??|x|?＝m有两个根，即函数y＝??1?3??|x|

?

与y＝m有两个不同的交点．

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