§12.1 级数的收敛性 数学分析课件(华师大 四版) 高教社ppt 华东师大教材配套课件解析

§1 级数的收敛性 级数的收敛性 ?un?1?n?a1?(a2?a1)?(a3?a2)??(an?an?1)?.(5)且当 这时数列 {an}与级数 (5) 具有相同的敛散性, {an}收敛时,其极限值就是级数(5)的和.

基于级数与数列的这种关系,可得下面有关级数的定理. 定理12.1（级数收敛的柯西准则） 级数(1)收敛的充要条件是:任给正数 ?,使得当m?N以及对任意总存在正整数N，的正整数p都有um?1?um?2?数学分析 第十二章 数项级数 高等教育出版社 ?um?p??.(6)§1 级数的收敛性 级数的收敛性 根据定理12.1以及数列发散的充要条件，可以立刻 写出级数(1)发散的充要条件是: 存在某正数?0,对

任何正整数N,总存在正整数 m0(>N) 和 p0，使得

um0?1?um0?2??um0?p0??0.(7)由定理12.1立即可得如下推论.

推论（级数收敛的必要条件） limun?0.若级数(1)收敛,则

n??注 推论是级数收敛的一个必要条件:一般项不趋于

零, 级数一定发散, 但一般项趋于零, 则级数未必 收敛. 因此推论用来判断级数发散是很有效.

数学分析 第十二章 数项级数 高等教育出版社 §1 级数的收敛性 级数的收敛性

如级数

1?(?1)?1?(?1)?n-1

因为一般项un=( )?1不趋于零，所以发散.

例3 讨论调和级数

111???231??n的敛散性.

1解 这里一般项 u n?n?0,因此不能利用推论判断它 是发散级数.

下面利用柯西准则证明它是发散的.

数学分析 第十二章 数项级数 高等教育出版社 §1 级数的收敛性 级数的收敛性

为此令 p = m, 则有

um?1?um?2?11???2m2m?u2m11???m?1m?21?2m11??,2m21故取 ?0?,对任何正整数 N 只要 m > N 和 p = m

2?1因此调和级数 发散. ?就有(7)式成立，

n?1n数学分析 第十二章 数项级数 高等教育出版社