优化方案数学必修4第二章§242课时活页训练

1．已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b＝( ) A．23 B．7 C．－23 D．－7 解析：选D.a·b＝－3×5＋4×2＝－7.

→→

2．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝(k,1)，AC＝(2,3)，则k的值为( ) 33

A．5 B．－5 C.2 D．－2 →→→→→

解析：选A.∵AB＝(k,1)，AC＝(2,3)，∴BC＝AC－AB ＝(2,3)－(k,1)＝(2－k,2)．

→→

∵∠C＝90°，即AC·BC＝0，∴2(2－k)＋3×2＝0.解得k＝5.

3．若a＝(x,2)，b＝(－3,5)，且a与b的夹角是钝角，则实数x的取值范围是( ) 10101010

A．(－∞，3) B．(－∞，3] C．(3，＋∞) D．[3，＋∞) 解析：选C.x应满足(x,2)·(－3,5)<0且a，b不共线． 10610解得x>3且x≠－5，∴x>3.

4．(2010年高考课标全国卷)a、b为平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a与b的夹角的余弦值等于( )

881616A.65 B．－65 C.65 D．－65 解析：选C.b＝(3,18)－2a＝(3,18)－(8,6)＝(－5,12)， a·b＝(4,3)·(－5,12)＝－20＋36＝16，|a|＝5，|b|＝13. a·b1616∴cosθ＝|a||b|＝5×13＝65.

5．(2010年高考广东卷)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，且满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝( )

A．3 B．4 C．5 D．6 解析：选B.8a－b＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)． ∴(8a－b)·c＝(6,3)·(3，x)＝18＋3x＝30.∴x＝4. →→→→→→

6．已知OA＝(－3,1)，OB＝(0,5)，且AC∥OB，BC⊥AB，则点C的坐标是( ) 29292929

A．(－3，－4) B．(－3，4) C．(3，4) D．(3，－4)

→→→→→→→

解析：选B.设C(x，y)，则AC＝(x＋3，y－1)，AB＝(3,4)，BC＝(x，y－5)．由AC∥OB，BC⊥AB，

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??x＋3×5－0×y－1得?

?3x＋4y－5＝0，?

＝0，

x＝－3，??

解得?29

y＝.??4

7．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为__________． a·b2×－4＋3×71365

解析：a在b方向上的投影为：|b|＝＝＝5.

65－42＋7265

答案：5

8．已知a＝(1，3)，b＝(3＋1，3－1)，则a与b的夹角是__________． 解析：由a＝(1，3)，b＝(3＋1，3－1)， ∴a·b＝(3＋1)×1＋3×(3－1)＝4，|a|＝2，|b|＝22. a·b2设a与b的夹角为θ，则cos θ＝|a||b|＝2. π

又∵0≤θ≤π，∴θ＝4. π答案：4

9．已知向量a＝(x－5,3)，b＝(2，x)且a⊥b，则由x的值构成的集合是__________． 解析：(x－5)×2＋3x＝0，∴x＝2. 答案：{2}

→→

10．在以O为原点的直角坐标系中，已知点A(4，－3)为△OAB的直角顶点，|AB|＝2|OA|，→

且点B的纵坐标大于零，求向量AB的坐标． →

解：如图，设AB＝(a，b)，

→→???|AB|＝2|OA|，?a2＋b2＝100，

则由?得?

→→?4a－3b＝0，??OA＝0，?AB·

???a＝6，?a＝－6，?解得或????b＝8，?b＝－8.

→→→

∵OB＝OA＋AB＝(4＋a，b－3)． 又b－3＞0，∴b＞3， →

∴AB＝(6,8)．

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11．已知向量a＝e1－e2，b＝4e1＋3e2，其中e1＝(1,0)，e2＝(0,1)． (1)试计算a·b与|a＋b|的值； (2)求向量a与b夹角的余弦值．

解：(1)a＝e1－e2＝(1,0)－(0,1)＝(1，－1)． b＝4e1＋3e2＝4(1,0)＋3(0,1)＝(4,3)． ∴a·b＝4×1＋3×(－1)＝1，|a＋b|＝(2)由a·b＝|a||b|cosθ， a·b12∴cosθ＝|a||b|＝＝10.

2·5

13

12．设平面上的向量a＝(cosα，sinα)(0°≤α≤360°)，b＝(－2，2)． (1)试证：向量a＋b与a－b垂直；

(2)当两个向量3a＋b与3a－b的模相等时，求角α. 解：(1)证明：(a＋b)·(a－b) 1313＝(cosα－2，sinα＋2)·(cosα＋2，sinα－2) 1133

＝(cosα－2)(cosα＋2)＋(sinα＋2)(sinα－2) 13

＝cos2α－4＋sin2α－4＝0. ∴(a＋b)⊥(a－b)．

(2)|3a＋b|＝|3a－b|， 平方得2a2－2b2＋43a·b＝0，即2－2＋43a·b＝0. 1313∴a·b＝(cosα，sinα)·(－2，12)＝－2cosα＋2sinα＝0. 3∴tanα＝3.

又α∈[0,360°]，∴α＝30°或210°.

4＋12＋3－12＝25＋4＝29.

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