安徽农业大学2005―2006学年第二学期
《概率论与数理统计》试卷
（标准答案）
一、填空题（每小题3分，共15分）：
1． 袋中有8个黑球，12个白球，它们除颜色不同外，其它方面没有区
别。现将球随机地一只只摸出来，则第10次摸出的球是黑球的 概率是 0.4 。
2． 在四次独立重复试验中，事件A至少发生一次的概率为，则事件
812A在一次试验中发生的概率为 。
323． 设随机变量X~N(3,?)，且P{32?X?6}?0.4，则P{X?0}
(b?a)2= 0.1 。 3
4． 设随机变量X在[a,b]上服从均匀分布，则D(2X) = 3 。 5． 设随机变量X与Y的方差分别为：D(X)＝25，D(Y)＝36，而
X与Y的相关系数为0.4，则D(X＋Y)＝ 85 。
二、单项选择题（每小题3分，共15分）：
801． 若P(A)?P(B)?P(C)?1，P(AB)?0，P(AC)?P(BC)?1，则
416事件A、B、C全不发生的概率为（ D ）。
(A)276400.310.7(B)3764Yp00.3(C)34(D)3 82． 设离散型随机变量X与Y相互独立，分布列分别为：
Xp，10.7 则必有：（ C ）。 ，(A)X?Y(B)P{X?Y}?1(C)P{X?Y}?0.58(D)P{X?Y}?0
3． 下列函数中（ C ）可以作为某随机变量的分布函数。
(A)F(x)?(B)F(x)?sinx1?x2
?0，x?0?1，x?0??(C)F(x)??1?x2(D)F(x)??2，x?0?1，x?0?1，x?0??14． 设连续型随机变量X的密度函数f(x)为偶函数，X的分布函数为
F(x)，则对任意实数a，有：（ B ）。
aa1(A)F(?a)?1??f(x)dx(B)F(?a)???f(x)dx
002(C)F(?a)?F(a)(D)F(?a)?2F(a)?15． 设随机变量X的数学期望E(X)＝1，方差D(X)＝1，令Y＝1－2X，
则以下说法正确的是：（ C ）。
(A)E(Y)??1，D(Y)?5(C)E(Y)??1，D(Y)?4(B)E(Y)??2，D(Y)?4(D)E(Y)??1，D(Y)?1
三．（10分）某厂生产的一批产品中次品占1%，该厂将10只这种产品包
装成一盒出售，并保证若某盒中次品多于一只即可退款，问出售的各盒产品中，将要退款的约占多大比例？ （可能用到：
0.9910?0.9044，0.999?0.9135，0.998?0.9227）
解：设X表示“一盒（10只）产品中的次品数”， 则：
X~B(10,0.01)。因此一盒产品退款的概率为：
P{X?1}?1?P{X?0或1}?1?P{X?0}?P{X?1}
＝1?01C10?0.010?0.9910?C10?0.01?0.999
＝0.0042。
即在出售的各盒产品中，将要退款的大约占0.42%。
四．（12分）高射炮向敌机发射三发炮弹（每发击中与否相互独立），
每发炮弹击中敌机的概率为0.5。若敌机中一弹，其坠落的概率为0.2；若敌机中两弹，其坠落的概率为0.6；若敌机中三弹，则必然坠落。求敌机被击落的概率。
解：设三发炮弹中有X发击中了飞机，则:
X~B(3,0.5)，
kk?P(X?k)?C30.5k0.53?k?C3/8（k=0,1,2,3）。
设Ak={飞机被击中k弹}(k=0,1,2,3)，B={飞机被击落}， 则A0，A1，A2，A3是个完备事件组。 由全概率公式，
P(B)＝P(A0)P(B|A0)＋P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)
＝P(X=0)P(B|A0)＋P(X=1)P(B|A1)＋P(X=2)P(B|A2)＋P(X=3)P(B|A3) ＝0.125×0＋0.375×0.2＋0.375×0.6＋0.125×1＝0.425。
五．（12分）设连续型随机变量X的密度函数为：
?ax，0?x?2? 1?f(x)??b?x，2?x?4，并且E(X)?2，求常数a、b。4???0，其它解：
1??????f(x)dx??0axdx?22?2(b?413x)dx?2a?2b?； 422?EX??????xf(x)dx?2?0axdx??2(bx?412x)dx 4814。 以上两式联立解得：a?a?6b?331?，b?1。 4六．（12分）设连续型随机变量X的密度函数为：
f(x)?Ae?|x|(???x???)，??????求：⑴常数A；⑵P(0?X?1)；⑶E(X)，D(X)。解：（1）1 ∴
????f(x)dx????Ae?|x|dx?2A?0e?xdx?2A，
A?1。
211?X?1)??0f(x)dx?1?0e?xdx?1(1?1)。
22e（2）P(0（3）由于f (x)为偶函数，故易知：
E(X)????xf(x)dx?0，D(X)?E(X2)?E2(X)?E(X)????xf(x)dx??????????x21e?|x|dx?2?0x21e?|x|dx??0x2e?xdx22??(3)?2!?2。2??2??
七．（12分）设二维连续型随机变量
(X,Y)的联合密度函数为：
?Cx2y3f(x,y)??0?(0?x?1,0?y?1)，
(其它)⑴求常数C ；⑵求X与Y的边缘密度函数并判断X与Y是否相互独立。
fX(x)及fY(y)，
解：(1)1???R2f(x,y)dxdy???0?x?1Cx0?y?12y3dxdy
11?C?x2dx??y3dy?C?1?1?C?C?12。003412(x?0或x?1时)0；??1(2)fX(x)??f(x,y)dy??232 ??(0?x?1时)?12xydy?3x。?0?(y?0或y?1时)0；????1fY(y)??f(x,y)dx??233 ??(0?y?1时)12xydx?4y。?0????显然
f(x,y)?fX(x)fY(y)，故X与Y相互独立。
八．数理统计（12分）：
（1）设总体X~N(?,52)。现从总体中抽取容量为16的样本，求 样本均值X与总体均值?之差的绝对值小于2的概率。（8分）（可能用到：?(1.6)?0.9452，?(1.8)?0.9641）解：由有关结论，X~N(?,即X~N(?,?2n)，25)。16?P(|X??|?2)?P(??2?X???2)22)??(?)1.251.25?2?(1.6)?1?0.8904。??(（2）设总体X服从于区间[0,?]上的均匀分布，(X1,X2,?,Xn)是来自X的简单随机样本，试求?的矩估计。（4分）
解：?X~U[0,?]，???EX??/2。
??2X。???2?。??
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