规律方法 1.三角函数定义域的求法 (1)以正切函数为例，应用正切函数y＝tan x的定义域求函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域. (2)转化为求解简单的三角不等式求复杂函数的定义域. 2.简单三角不等式的解法 (1)利用三角函数线求解. (2)利用三角函数的图象求解. π??
【训练1】 (1)函数f(x)＝－2tan?2x＋?的定义域是( )
6??
??????π?π?A.?x|x≠? B.?x|x≠－?
6?12???????
????????πkππ???C.x|x≠kπ＋（k∈Z） D.x|x≠＋（k∈Z）?
626????????(2)(一题多解)函数y＝sin x－cos x的定义域为________.
ππkππ
解析 (1)由正切函数的定义域，得2x＋6≠kπ＋2(k∈Z)，即x≠2＋6(k∈Z)，故选D.
(2)法一 要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示.
π5π
在[0，2π]内，满足sin x＝cos x的x为4，4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为
?????π5π?x?2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z?.
44?????
法二 利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示). 所以定义域为
?????π5π
?x?2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z?.
44?????
π?π?
法三 sin x－cos x＝2sin?x－?≥0，将x－4视为一个整体，由正弦函数y＝
4??
π
sin x的图象和性质可知2kπ≤x－4≤π＋2kπ(k∈Z)，
π5π
解得2kπ＋4≤x≤2kπ＋4(k∈Z).
?????π5π??. 所以定义域为x?2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z
44?????
答案 (1)D
???
(2)?x?2kπ?????π5π
＋4≤x≤2kπ＋4，k∈Z?
??
考点二 三角函数的值域(最值)
?π?
【例2】 (1)函数y＝sin x－cos?x＋?的值域为________.
6??
π??3??
(2)(2017·全国Ⅱ卷)函数f(x)＝sin2x＋3cos x－4?x∈?0，??的最大值是
2????________.
(3)函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为________.
3133?π?
解析 (1)∵y＝sin x－cos ?x＋?＝sin x－2cos x＋2sin x＝2sin x－2cos x＝
6???π?
3sin?x－?，
6??
?π?
∴函数y＝sin x－cos?x＋?的值域为[－3，3].
6??
π??3??
(2)f(x)＝sin2x＋3cos x－4?x∈?0，??，
2????
3
f(x)＝1－cos2x＋3cos x－4， 令cos x＝t且t∈[0，1]，
1?3?2
则y＝－t＋3t＋4＝－?t－?＋1，
2??
2
3
则当t＝2时，f(x)取最大值1. (3)设t＝sin x－cos x，
则t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x， 1－t2
sin xcos x＝2，且－2≤t≤2，
t211
∴y＝－2＋t＋2＝－2(t－1)2＋1.
1
当t＝1时，ymax＝1；当t＝－2时，ymin＝－2－2. ?1?
∴函数的值域为?－2－2，1?.
??
?1?
答案 (1)[－3，3] (2)1 (3)?－2－2，1?
??
规律方法 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型： (1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)； (2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)； (3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值). 13??7
【训练2】 (1)函数y＝－2sin x－1，x∈?6π，6π?的值域是( )
??A.[－3，1]
B.[－2，1]
C.(－3，1]
D.(－2，1]
?π?
(2)(2016·全国Ⅱ卷)函数f(x)＝cos 2x＋6cos?－x?的最大值为( )
?2?A.4
B.5
C.6
D.7
13?1?7
解析 (1)由y＝sin x在?6π，6π?上，－1≤sin x<2，所以函数y＝－2sin x－1，
??
?7π13?x∈?，6π?的值域是(－2，1]. ?6?3?211?π??2
(2)由f(x)＝cos 2x＋6cos?－x?＝1－2sinx＋6sin x＝－2?sin x－2?＋2，所以当
???2?sin x＝1时函数的最大值为5，故选B. 答案 (1)D (2)B
考点三 三角函数的性质(多维探究) 命题角度1 三角函数的奇偶性与周期性
【例3－1】 (1)(2017·山东卷)函数y＝3sin 2x＋cos 2x的最小正周期为( ) π
A.2
2πB.3
C.π
D.2π
π??1??1??
(2)(2018·武汉调研)设函数f(x)＝sin?2x＋θ?－3cos?2x＋θ??|θ|
?????2?轴对称，则θ＝( )
πA.－6 πB.6 πC.－3 πD.3 π??3?1?
解析 (1)∵y＝2?sin 2x＋cos 2x?＝2sin?2x＋?，
6?2??2?
2π
∴T＝2＝π.
?1??1?
(2)f(x)＝sin?2x＋θ?－3cos?2x＋θ?＝
????π?π?π??1??
2sin?x＋θ－?，由题意可得f(0)＝2sin?θ－?＝±2，即sin?θ－?＝±1，∴
3?3?3??2??
ππ5ππ
θ－3＝2＋kπ(k∈Z)，∴θ＝6＋kπ(k∈Z)，∵|θ|<2，∴k＝－1时，θ＝ π－6.
答案 (1)C (2)A
规律方法 1.若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则 π(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝2＋kπ(k∈Z)； (2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z). 2.函数y＝Asin(ωx＋φ)与y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期T＝π|ω|2π，y＝Atan(ωx|ω|＋φ)的最小正周期T＝. 命题角度2 三角函数的单调性
π??
【例3－2】 (1)函数f(x)＝sin?－2x＋?的单调递减区间为________.
3??
π???ππ?
(2)(一题多解)若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在?0，?上单调递增，在区间?，?上
3?2???3单调递减，则ω＝________.
π??
解析 (1)由已知可得函数为y＝－sin?2x－?，欲求函数的单调递减区间，只需
3??
π??
求y＝sin?2x－?的单调递增区间.
3??πππ
由2kπ－2≤2x－3≤2kπ＋2，k∈Z，
π5π
得kπ－12≤x≤kπ＋12，k∈Z.
π5π??
?(k∈Z). 故所求函数的单调递减区间为?kπ－，kπ＋
1212??
相关推荐：
loading