πππ?3?
解析 f(x)=cos?2x+?-cos 2x=cos 2xcos3-sin 2x·sin 3-cos 2x=-2 3??π?1?
sin 2x-2cos 2x=-sin?2x+?,所以函数f(x)的最小正周期为π,但它不是奇函
6??
π?2π??5π?数,故①错误;由f??=1,故②正确;由f??=0,故③正确;由2+2kπ
?3??12?
π3ππ2π
≤2x+6≤2+2kπ,k∈Z,得kπ+6≤x≤kπ+3,k∈Z,所以f(x)的递
π2π??
?(k∈Z),故④正确. 增区间为?kπ+,kπ+
63??答案 ②③④
?π??ππ?
??15.(2018·绵阳诊断)若f(x)=cos 2x+acos+x在区间?,?上是增函数,则
2??2??6实数a的取值范围为________.
?1?
解析 f(x)=1-2sin2x-asin x,令sin x=t,t∈?2,1?,则g(t)=-2t2-at+1,t
??
a?ππ??1?
∈?2,1?,因为f(x)在?,?上单调递增,所以-4≥1,即a≤-4. ??2??6答案 (-∞,-4] 三、解答题
16.(2017·江苏卷)已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-3),x∈[0,π]. (1)若a∥b,求x的值;
(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值. 解 (1)∵a∥b,∴3sin x=-3cos x,
?π?
∴3sin x+3cos x=0,即sin?x+?=0.
6??
ππ7π5π
∵0≤x≤π,∴6≤x+6≤6π,∴x+6=π,∴x=6.
?π?
(2)f(x)=a·b=3cos x-3sin x=-23sin?x-?.
3??
π?π2π?
∵x∈[0,π],∴x-3∈?-,?,
3??33?π?
∴-2≤sin?x-?≤1,∴-23≤f(x)≤3,
3??ππ
当x-3=-3,即x=0时,f(x)取得最大值3;
ππ5π
当x-3=2,即x=6时,f(x)取得最小值-23.
17.(2018·合肥质检)已知函数f(x)=sin ωx-cos ωx(ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数y=f(x)图象的对称轴方程;
π??
(2)讨论函数f(x)在? 0,?上的单调性.
2??
π??
解 (1)∵f(x)=sinωx-cos ωx=2sin?ωx-?,且T=π,∴ω=2.于是,f(x)
4??
ππkπ3ππ??
=2sin?2x-?.令2x-4=kπ+2(k∈Z),得x=2+8(k∈Z),故函数f(x)
4??
kπ3π
的对称轴方程为x=+(k∈Z).
28
πππ
(2)令2kπ-2≤2x-4≤2kπ+2(k∈Z),得函数f(x)的单调递增区间为
π3π?π?π?????kπ-,kπ+?(k∈Z).注意到x∈?0,?,令k=0,得函数f(x)在?0,?上
88?2?2????
3π???3ππ?
的单调递增区间为?0,?;其单调递减区间为?,2?.
8???8?
x??
18.(2018·福州调研)已知函数f(x)=a?2cos22+sin x?+b.
??(1)若a=-1,求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若x∈[0,π]时,函数f(x)的值域是[5,8],求a,b的值. ?π?
解 f(x)=a(1+cos x+sin x)+b=2asin?x+?+a+b.
4??
?π?
(1)当a=-1时,f(x)=-2sin?x+?+b-1,
4??
ππ3π
由2kπ+2≤x+4≤2kπ+2(k∈Z),
π5π
得2kπ+4≤x≤2kπ+4(k∈Z),
π5π??
?(k∈Z). ∴f(x)的单调递增区间为?2kπ+,2kπ+
44??
ππ5π
(2)∵0≤x≤π,∴4≤x+4≤4, 2?π?
∴-2≤sin?x+?≤1,依题意知a≠0.
4??
?2a+a+b=8,
①当a>0时,?∴a=32-3,b=5.
?b=5,
?b=8,
②当a<0时,?∴a=3-32,b=8.
?2a+a+b=5,综上所述,a=32-3,b=5或a=3-32,b=8.
ππ
2x+?+2a+b,当x∈?0,?时, 19.(2018·兰州模拟)已知a>0,函数f(x)=-2asin?6???2?-5≤f(x)≤1.
(1)求常数a,b的值;
π
x+?且lgg(x)>0,求g(x)的单调区间. (2)设g(x)=f??2?πππ7π0,?,∴2x+∈?,?, 解 (1)∵x∈??2?6?66?π1
2x+?∈?-,1?, ∴sin?6??2??π
2x+?∈[-2a,a], ∴-2asin?6??∴f(x)∈[b,3a+b],又∵-5≤f(x)≤1, ∴b=-5,3a+b=1,因此a=2,b=-5. π
2x+?-1, (2)由(1)得f(x)=-4sin?6??π7π
x+?=-4sin?2x+?-1 g(x)=f?6??2??π
2x+?-1, =4sin?6??又由lgg(x)>0,得g(x)>1,
ππ12x+?-1>1,∴sin?2x+?>, ∴4sin?6?6?2??ππ5π
∴2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z,
666πππ
其中当2kπ+<2x+≤2kπ+,k∈Z时,
662π
g(x)单调递增,即kπ 6π kπ,kπ+?,k∈Z. ∴g(x)的单调增区间为?6??ππ5π 又∵当2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z时, 266ππ g(x)单调递减,即kπ+ 63ππ kπ+,kπ+?,k∈Z. ∴g(x)的单调减区间为?63?? π kπ,kπ+?,k∈Z, ∴g(x)的单调增区间为?6??ππ kπ+,kπ+?,k∈Z. 单调减区间为?63??
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