[备战高考]2019年高考数学一轮复习第4章第3节《三角函数的图象与性质》

πππ?3?

解析 f(x)＝cos?2x＋?－cos 2x＝cos 2xcos3－sin 2x·sin 3－cos 2x＝－2 3??π?1?

sin 2x－2cos 2x＝－sin?2x＋?，所以函数f(x)的最小正周期为π，但它不是奇函

6??

π?2π??5π?数，故①错误；由f??＝1，故②正确；由f??＝0，故③正确；由2＋2kπ

?3??12?

π3ππ2π

≤2x＋6≤2＋2kπ，k∈Z，得kπ＋6≤x≤kπ＋3，k∈Z，所以f(x)的递

π2π??

?(k∈Z)，故④正确. 增区间为?kπ＋，kπ＋

63??答案 ②③④

?π??ππ?

??15.(2018·绵阳诊断)若f(x)＝cos 2x＋acos＋x在区间?，?上是增函数，则

2??2??6实数a的取值范围为________.

?1?

解析 f(x)＝1－2sin2x－asin x，令sin x＝t，t∈?2，1?，则g(t)＝－2t2－at＋1，t

??

a?ππ??1?

∈?2，1?，因为f(x)在?，?上单调递增，所以－4≥1，即a≤－4. ??2??6答案 (－∞，－4] 三、解答题

16.(2017·江苏卷)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－3)，x∈[0，π]. (1)若a∥b，求x的值；

(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值. 解 (1)∵a∥b，∴3sin x＝－3cos x，

?π?

∴3sin x＋3cos x＝0，即sin?x＋?＝0.

6??

ππ7π5π

∵0≤x≤π，∴6≤x＋6≤6π，∴x＋6＝π，∴x＝6.

?π?

(2)f(x)＝a·b＝3cos x－3sin x＝－23sin?x－?.

3??

π?π2π?

∵x∈[0，π]，∴x－3∈?－，?，

3??33?π?

∴－2≤sin?x－?≤1，∴－23≤f(x)≤3，

3??ππ

当x－3＝－3，即x＝0时，f(x)取得最大值3；

ππ5π

当x－3＝2，即x＝6时，f(x)取得最小值－23.

17.(2018·合肥质检)已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；

π??

(2)讨论函数f(x)在? 0，?上的单调性.

2??

π??

解 (1)∵f(x)＝sinωx－cos ωx＝2sin?ωx－?，且T＝π，∴ω＝2.于是，f(x)

4??

ππkπ3ππ??

＝2sin?2x－?.令2x－4＝kπ＋2(k∈Z)，得x＝2＋8(k∈Z)，故函数f(x)

4??

kπ3π

的对称轴方程为x＝＋(k∈Z).

28

πππ

(2)令2kπ－2≤2x－4≤2kπ＋2(k∈Z)，得函数f(x)的单调递增区间为

π3π?π?π?????kπ－，kπ＋?(k∈Z).注意到x∈?0，?，令k＝0，得函数f(x)在?0，?上

88?2?2????

3π???3ππ?

的单调递增区间为?0，?；其单调递减区间为?，2?.

8???8?

x??

18.(2018·福州调研)已知函数f(x)＝a?2cos22＋sin x?＋b.

??(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调递增区间；

(2)若x∈[0，π]时，函数f(x)的值域是[5，8]，求a，b的值. ?π?

解 f(x)＝a(1＋cos x＋sin x)＋b＝2asin?x＋?＋a＋b.

4??

?π?

(1)当a＝－1时，f(x)＝－2sin?x＋?＋b－1，

4??

ππ3π

由2kπ＋2≤x＋4≤2kπ＋2(k∈Z)，

π5π

得2kπ＋4≤x≤2kπ＋4(k∈Z)，

π5π??

?(k∈Z). ∴f(x)的单调递增区间为?2kπ＋，2kπ＋

44??

ππ5π

(2)∵0≤x≤π，∴4≤x＋4≤4， 2?π?

∴－2≤sin?x＋?≤1，依题意知a≠0.

4??

?2a＋a＋b＝8，

①当a>0时，?∴a＝32－3，b＝5.

?b＝5，

?b＝8，

②当a<0时，?∴a＝3－32，b＝8.

?2a＋a＋b＝5，综上所述，a＝32－3，b＝5或a＝3－32，b＝8.

ππ

2x＋?＋2a＋b，当x∈?0，?时， 19．(2018·兰州模拟)已知a>0，函数f(x)＝－2asin?6???2?－5≤f(x)≤1.

(1)求常数a，b的值；

π

x＋?且lgg(x)>0，求g(x)的单调区间． (2)设g(x)＝f??2?πππ7π0，?，∴2x＋∈?，?， 解 (1)∵x∈??2?6?66?π1

2x＋?∈?－，1?， ∴sin?6??2??π

2x＋?∈[－2a，a]， ∴－2asin?6??∴f(x)∈[b,3a＋b]，又∵－5≤f(x)≤1， ∴b＝－5,3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5. π

2x＋?－1， (2)由(1)得f(x)＝－4sin?6??π7π

x＋?＝－4sin?2x＋?－1 g(x)＝f?6??2??π

2x＋?－1， ＝4sin?6??又由lgg(x)>0，得g(x)>1，

ππ12x＋?－1>1，∴sin?2x＋?>， ∴4sin?6?6?2??ππ5π

∴2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z，

666πππ

其中当2kπ＋<2x＋≤2kπ＋，k∈Z时，

662π

g(x)单调递增，即kπ

6π

kπ，kπ＋?，k∈Z. ∴g(x)的单调增区间为?6??ππ5π

又∵当2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z时，

266ππ

g(x)单调递减，即kπ＋

63ππ

kπ＋，kπ＋?，k∈Z. ∴g(x)的单调减区间为?63??

π

kπ，kπ＋?，k∈Z， ∴g(x)的单调增区间为?6??ππ

kπ＋，kπ＋?，k∈Z. 单调减区间为?63??