∴DB＝DC，∠BDC＝∠DBC＝∠DCB＝60°， 在△ADB和△ADC中，
，
∴△ADB≌△ADC， ∴∠ADB＝∠ADC，
∴∠ADB＝（360°﹣60°）＝150°．
（2）解：结论：△ABE是等边三角形． 理由：∵∠ABE＝∠DBC＝60°， ∴∠ABD＝∠CBE， 在△ABD和△EBC中，
，
∴△ABD≌△EBC，
∴AB＝BE，∵∠ABE＝60°， ∴△ABE是等边三角形．
（3）解：连接DE．
∵∠BCE＝150°，∠DCB＝60°， ∴∠DCE＝90°，
∵∠EDB＝90°，∠BDC＝60°， ∴∠EDC＝30°， ∴EC＝DE＝4， ∵△ABD≌△EBC， ∴AD＝EC＝4．
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【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．
22．（9分）阅读下面材料：
一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式，例如：a+b+c，abc，a2+b2，…
含有两个字母a，b的对称式的基本对称式是a+b和ab，像a2+b2，（a+2）（b+2）等对称式都可以用a+b，ab表示，例如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab． 请根据以上材料解决下列问题： （1）式子：①a2b2②a2﹣b2③号）
（2）已知（x+a）（x+b）＝x2+mx+n． ①若m＝2，n＝﹣4，求对称式a2+b2的值 ②若n＝﹣4，求对称式
的最大值；
④a2b+ab2中，属于对称式的是 ①③④ （填序
【分析】（1）根据新定义的“对称式”的意义进行判断，做出选择，
（2）已知（x+a）（x+b）＝x2+mx+n．则m＝a+b，n＝ab，①m＝2，n＝4，利用整式变形可求出a2+b2的值； ②n＝﹣4时，即ab＝﹣4，由的最大值；
【解答】解：（1）根据“对称式”的意义，得①③④是“对称式”， 故答案为：①③④，
（2）①∵（x+a）（x+b）＝x2+mx+n． ∴m＝a+b，n＝ab，
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＝＝＝﹣可以求出
①当m＝2，n＝﹣4时，即∴a+b＝2，ab＝﹣4， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝4+8＝12， ②当n＝﹣4时，即ab＝﹣4
＝故代数式
＝
的最大值为﹣2．
＝﹣
，
【点评】考查“新定义”的意义、整式、分式的化简求值以及二次函数的最值的求法等知识，理解“新定义”的意义和最值的意义是解决问题的关键． 六、解答题（本题12分）
23．（12分）已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．
（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；
（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；
（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC＝3MC，请直接写出
的值．
【分析】（1）欲证明BF＝AD，只要证明△BCF≌△ACD即可；
（2）结论：BD＝2CF．如图2中，作EH⊥AC于H．只要证明△ACD≌△EHA，推出CD＝AH，EH＝AC＝BC，由△EHF≌△BCF，推出CH＝CF即可解决问题； （3）利用（2）中结论即可解决问题； 【解答】（1）证明：如图1中，
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∵BE⊥AD于E，
∴∠AEF＝∠BCF＝90°， ∵∠AFE＝∠CFB， ∴∠DAC＝∠CBF， ∵BC＝CA， ∴△BCF≌△ACD， ∴BF＝AD．
（2）结论：BD＝2CF．
理由：如图2中，作EH⊥AC于H．
∵∠AHE＝∠ACD＝∠DAE＝90°，
∴∠DAC+∠ADC＝90°，∠DAC+∠EAH＝90°， ∴∠DAC＝∠AEH，∵AD＝AE， ∴△ACD≌△EHA， ∴CD＝AH，EH＝AC＝BC， ∵CB＝CA， ∴BD＝CH，
∵∠EHF＝∠BCF＝90°，∠EFH＝∠BFC，EH＝BC，
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