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2019年河南省信阳市中考数学二模试卷

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【分析】(1)如图1,连AE,由等腰三角形的性质可知E为PB中点,则OE是△PAB的中位线,OE∥PA,可证得∠DOE=∠EOB,则∠EDO=∠EBO可证;

(2)如图2,由条件知OA=4,当OA边上的高最大时,△AOD的面积最大,可知点D是

的中点时满足题意,此时最大面积为8;

(3)如图3,当DE=4时,四边形ODEB是菱形.只要证明△ODE是等边三角形即可解决问题.

【解答】证明:(1)如图1,连AE,

∵AB为⊙O的直径, ∴∠AEB=90°, ∵PA=AB, ∴E为PB的中点, ∵AO=OB, ∴OE∥PA,

∴∠ADO=∠DOE,∠A=∠EOB ∵OD=OA, ∴∠A=∠ADO, ∴∠EOB=∠DOE,

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∵OD=OE=OB, ∴∠EDO=∠EBO; (2)①∵AB=8, ∴OA=4,

当OA边上的高最大时,△AOD的面积最大(如图2),此时点D是

的中点,

∴OD⊥AB, ∴

②如图3,当DE=4时,四边形OBED为菱形,理由如下:

∵OD=DE=OE=4, ∴△ODE是等边三角形, ∴∠EDO=60°,

由(1)知∠EBO=∠EDO=60°, ∴OB=BE=OE, ∴四边形OBED为菱形, 故答案为:8;4.

【点评】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、中位线定理、菱形的判定等知识,

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解题的关键是找准动点D在圆上的位置,灵活运用所学知识解决问题,

19.(9分)在日常生活中我们经常会使用到订书机,如图MN是装订机的底座,AB是装订机的托板AB始终与底座平行,连接杆DE的D点固定,点E从A向B处滑动,压柄BC绕着转轴B旋转.已知连接杆BC的长度为20cm,BD=等.

(1)当托板与压柄的夹角∠ABC=30°时,如图①点E从A点滑动了2cm,求连接杆DE的长度.

(2)当压柄BC从(1)中的位置旋转到与底座垂直,如图②.求这个过程中,点E滑动的距离.(结果保留根号)

cm,压柄与托板的长度相

【分析】(1)如图1中,作DH⊥BE于H.求出DH,BH即可解决问题. (2)解直角三角形求出BE即可解决问题. 【解答】解:(1)如图1中,作DH⊥BE于H. 在Rt△BDH中,∵∠DHB=90°,BD=4∴DH=BD=2

(cm),BH=

cm,∠ABC=30°,

DH=6(cm),

∵AB=CB=20cm,AE=2cm, ∴EH=20﹣2﹣6=12(cm), ∴DE=

(2)在Rt△BDE中,∵DE=2∴BE=

=6

(cm),

)cm.

,BD=4

,∠DBE=90°,

=2

(cm).

∴这个过程中,点E滑动的距离(18﹣6

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【点评】本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.

20.(9分)小明和小强为了买同一种火车模型,决定从春节开始攒钱,小明原有200元,以后每月存50元;小强原有150元,以后每月存60元.设两人攒钱的月数为x(个)(x为整数).

(Ⅰ)根据题意,填写下表: 攒钱的月数/个 小明攒钱的总数/元 小强攒钱的总数/元 (Ⅱ)在几个月后小明与小强攒钱的总数相同?此时他们各有多少钱? (Ⅲ)若这种火车模型的价格为780元,他们谁能够先买到该模型?

【分析】(1)根据总钱数=原有钱数+每月攒钱数×攒钱的月数,即可得出每个空中的结论,此题得解;

(2)令200+50x=150+60x,解之可求出x值,将其代入150+6x中即可得出结论; (3)分别求出200+50x≥780和150+60x≥780的x的取值范围,比较后即可得出结论. 【解答】解:(I)6个月时,小明攒钱的总数为:200+50×6=500(元); x个月时,小明攒钱的总数为:200+50x;

3个月时,小强攒钱的总数为:150+60×3=330(元); x个月时,小强攒钱的总数为:150+60x. 故答案为:500;200+50x;330;150+60x. (II)根据题意,得:200+50x=150+60x, 解得:x=5.

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3 350 6 500 … … x 200+50x 330 510 … 150+60x

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