2016年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案 考试时间 2016年3月13日 9∶00－11∶00 满分150分
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．在平面直角坐标系xOy中，已知点B(0，2)，点A在x轴正半轴上且?BAO?30?。将
△OAB沿直线AB折叠得△CAB，则点C的坐标为（ ）
3) C．(3，3) D．(3，1) A．(1，3) B．(3，
2．若实数a，b满足a2?3a?2，b2?3b?2，且a?b，则(1?a2)(1?b2)?（ ） A．18 B．12 C．9 D．6
3．若关于x的方程值的总和为（ ）
A．?6 B．?30 C．?32 D．?38
4．如图，在△ABC中，AB?6，BC?3，CA?7，I为△ABC的内心，连接CI并延长交AB于点D。记△CAI的面积为m， △DAI的面积为n，则
3457A． B． C． D．
2334m?（ ） nx?2x?24x?a??2?0只有一个实数根，则符合条件的所有实数a的x?2x?2x?4CIADB
5．已知x，y为实数，且满足x2?xy?4y2?4，记u?x2?xy?4y2的最大值为M，最小值为m，则M?m?（ ）
A．
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
1)，B(2，3)，若一次函数y?kx?2的图像与线段AB6．在平面直角坐标系内有两点A(1，401363164 B． C． D． 315515有公共点，则k的取值范围为 。
7．如图，在△ABC中，D为BC边上一点，E为线段AD上一点，延长BE交AC于点F。若
BD2AE1AF?，?，则? 。 BC5AD2ACAFEBD?xn?2017，则n
8．设x1，x2，x3，…，xn是n个互不相同的正整数，且x1?x2?x3?的最大值是 。
9．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于E点，若
AE
? 。 AB
COA?5，则CECE
333??x?y?z?3xyz10．若正整数x，y，z满足方程组?2，则xyz的最大值为 。
??x?7(y?z)AOB
三、解答题（共4题，每小题20分，共80分）
11．若关于x的方程x2?(a?3)x?a?2?0有两个不相等的整数根，求a的值。
12．如图，H为△ABC的垂心，圆O为△ABC的外接圆。点E、F为以C为圆心、CH长为半径的圆与圆O的交点，D为线段EF的垂直平分线与圆O的交点。
求证：（1）AC垂直平分线段HE；
（2）DE?AB。
ADOBFHCE13．对于整数n?3，用?(n)表示所有小于n的素数的乘积。求满足条件?(n)?22n?32的所有正整数n。
14．在一个m?n（m行，n列，m?1）的表格的每个方格内填上适当的正整数，使得： （1）每一列所填的数都是1，2，3，…，m的一个排列；（即在每一列中，1，2，3，…，
m这m个数出现且仅出现1次）
（2）每一行n个的数和都是34。
当上述的填数方式存在时，求(m，n)的所有可能取值。
2016年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案
考试时间 2016年3月13日 9∶00－11∶00 满分150分
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．在平面直角坐标系xOy中，已知点B(0，2)，点A在x轴正半轴上且?BAO?30?。将
△OAB沿直线AB折叠得△CAB，则点C的坐标为（ ）
3) C．(3，3) D．(3，1) A．(1，3) B．(3，【答案】 B
【解答】如图，设CD?x轴于点D。
依题意，CA?OA?23，?CAO?2?BAO?60?。 所以，CD?3，AD?3，OD?3。
3)。 因此，点C的坐标为(3，2．若实数a，b满足a2?3a?2，b2?3b?2，且a?b，则(1?a2)(1?b2)?（ ） A．18 B．12 C．9 D．6 【答案】 A
【解答】依题意，a，b为方程x2?3x?2?0的两个不同实根。 因此，由韦达定理得，a?b??3，ab??2。
(1?a2)(1?b2)?(1?2?3a)(1?2?3b)?9(1?a)(1?b)?9?1?(a?b)?ab??9(1?3?2)?18。 或解：(1?a2)(1?b2)?1?a2?b2?a2b2?1?(a?b)2?2ab?a2b2?1?9?4?4?18。 3．若关于x的方程值的总和为（ ）
A．?6 B．?30 C．?32 D．?38 【答案】 D 【解答】方程
x?2x?24x?a??2?0只有一个实数根，则符合条件的所有实数a的x?2x?2x?4x?2x?24x?a??2?0化为2x2?4x?a?8?0 ……………… ① x?2x?2x?4若方程①有两个相等实根，则△?16?8(a?8)?0，a??6。
a??6时，方程①的根x1?x2??1，符合要求。
若x?2是方程①的根，则8?8?a?8?0，a??24，此时，方程①的另一个根为x??4，符合要求。
若x??2是方程①的根，则8?8?a?8?0，a??8，此时，方程①的另一个根为x?0，符合要求。
所以，符合条件的a有?6，?24，?8，其总和为?38。
4．如图，在△ABC中，AB?6，BC?3，CA?7，I为△ABC的内心，连接CI并延长
交AB于点D。记△CAI的面积为m， △DAI的面积为n，则
3457A． B． C． D．
2334m?（ ） nCI【答案】 C 【解答】依题意，
mIC。 ?nIDAD（第4题）
BICACBC由I为△ABC的内心知，。 ??IDADBD所以，由等比定理知，
mICACBCAC?BC7?35??????。 nIDADBDAD?DB635．已知x，y为实数，且满足x2?xy?4y2?4，记u?x2?xy?4y2的最大值为M，最小值为m，则M?m?（ ）
A．
401363164 B． C． D． 315515【答案】 C
【解答】由x2?xy?4y2?4，得x2?4y2?xy?4，u?x2?xy?4y2?2xy?4。 ∵ 5xy?4xy?(x2?4y2?4)?(x?2y)2?4??4，当且仅当x??2y，即x??y?1010210，或x?，y??时等号成立。 555210，541212∴ xy的最小值为?，u?x2?xy?4y2?2xy?4的最小值为，即m?。
555∵ 3xy?4xy?(x2?4y2?4)?4?(x?2y)2?4，当且仅当x?2y，即x?x??266，y??时等号成立。 33266，y?或33∴ xy的最大值为∴ M?m?42020，u?x2?xy?4y2?2xy?4的最大值为，即M?。 3332012136??。 3515或解：由x2?xy?4y2?4，得x2?4y2?xy?4，u?x2?xy?4y2?2xy?4。 设xy?t，若x?0，则??4；x?0时，x?
yt
，将y?代入x2?xy?4y2?4， tx
4t2得x?t?2?4，即x4?(t?4)x2?4t2?0， ……………… ①
x244由△?(t?4)2?16t2?0，解得??t?。
53将t?262104848x??x??代入方程①，解得x2?，；解得x2?，。 t??代入方程①，
353355∴ xy的最大值为
44，最小值为?。 358208122012136因此，M??4?，m???4?，M?m?。 ??33553515二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6．在平面直角坐标系内有两点A(1，1)，B(2，3)，若一次函数y?kx?2的图像与线段AB有公共点，则k的取值范围为 。
【答案】 ?1?k?1 (个人觉得还要补充k?0，因为是一次函数) 2【解答】易得直线AB对应的一次函数的解析式为y?2x?1。
?y?2x?1由?，得(k?2)x??3 ……………… ①
y?kx?2?依题意，方程①有1?x?2的解。 ∴ k?2?0，且1?或通过作图求解。
7．如图，在△ABC中，D为BC边上一点，E为线段AD上一点，延长BE交AC于点F。若
BD2AE1AF?，?，则? 。 BC5AD2AC2【答案】
7?311?2，解得?1?k?。故k的取值范围为?1?k?。 k?222AFEBD（第7题）
【解答】如图，过点C作CG∥BF交AD的延长线于点G，则
AFAE?。 ACAGC又由CG∥BE，知△DGC∽△DEB。
DGDC3??。 ∴
DEDB2BGAFEDC37∴ AG?AD?DG?2DE?DE?DE。
22∴
AFAEDE2???。 ACAGAG7?xn?2017，则n8．设x1，x2，x3，…，xn是n个互不相同的正整数，且x1?x2?x3?的最大值是 。
【答案】 63
【解答】依题意，x1?1，x2?2，x3?3，…，xn?n。 ∴ 2017?x1?x2?x3?于是，2017??xn?1?2?3??n?n(n?1)。 2n(n?1)，n?63。 2又当x1?1，x2?2，x3?3，…，x62?62，x63?64时，
x1?x2?x3??x62?x63?1?2?3??62?64?63?64?1?2017。 2∴ 所求n的最大值为63。
9．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于E点，若
AE
? 。 AB
OA?5，则CECE【答案】
5 5AOB【解答】由AB为⊙O的直径知，AE?BC。设CE?m，则
OA?5m，AB?25m。
由条件易得△ACE∽△BAE， ∴
CEAE，AE2?CE?EB，即AE2?mEB。 ?AEBE（第9题）
结合AB2?AE2?EB2，得(25m)2?mEB?EB2。
（或由射影定理得BA2?BE?BC，即(25m)2?BE?(BE?m)） ∴ EB2?mEB?20m2?0，解得EB?4m或EB??5m（舍去）。 ∴ AE?2m，
AE2m5。 ??AB25m5333??x?y?z?3xyz10．若正整数x，y，z满足方程组?2，则xyz的最大值为 。
??x?7(y?z)【答案】 84
【解答】由x3?y3?z3?3xyz，得
1x3?y3?z3?3xyz?(x?y?z)?(x?y)2?(x?z)2?(z?y)2????0。 2结合x，y，z为正整数得，(x?y)2?(x?z)2?(z?y)2?0，于是x?y?z?0。 ∴ x2?7x，x?7，y?z?7。
∴ 当x?7，y?3，z?4或x?7，y?4，z?3时，xyz有最大值84。
三、解答题（共4题，每小题20分，共80分）
11．若关于x的方程x2?(a?3)x?a?2?0有两个不相等的整数根，求a的值。
【解答】设x1，x2是方程两个不相等的整数根，则x1?x2?a?3，x1x2?a?2。 ∴ a?3，a?2均为整数。因此，a为整数。 …………………… 5分 ∴ △?(a?3)2?4(a?2)?a2?10a?17?(a?5)2?8为完全平方数。 设(a?5)2?8?t2（t为整数，且t?0）。
则(a?5)2?t2?8。于是，(a?5?t)(a?5?t)?8。 …………………… 10分 由于a?5?t，a?5?t奇偶性相同，且a?5?t?a?5?t。
?a?5?t??4?a?5?t?2∴ ?或?。
?a?5?t??2?a?5?t?4?a?2?a?8解得?或?。 …………………………… 15分
t?1t?1??经检验a?2，a?8符合要求。
∴ a?2或a?8。 ………………………… 20分 另解：设m，n（m?n）是方程两个不相等的整数根。
2??m?(a?3)m?a?2?0则?2??n?(a?3)n?a?2?0①②。
两式相减，得(m?n)(m?n)?(a?3)(m?n)?0。
由m?n，得m?n?a?3，a?m?n?3。 …………………… 5分 将a?m?n?3代入①，得mn?m?n?1?0。
∴ (m?1)(n?1)?2。 …………………… 10分
?m?1??2?m?1?1由于m，n为整数，且m?n，因此，?或?。
?n?1??1?n?1?2?m??1?m?2∴ ?或?。 …………………………… 15分
?n?3?n?0?m?2?m??1当?时，a?m?n?3?2；?时，a?m?n?3?8。
n?3n?0??∴ a?2或a?8。 ………………………… 20分
12．如图，H为△ABC的垂心，圆O为△ABC的外接圆。点E、F为以C为圆心、CH长为半径的圆与圆O的交点，D为DOBFHCAE线段EF的垂直平分线与圆O的交点。
求证：（1）AC垂直平分线段HE；
（2）DE?AB。
【解答】（1）解法一： 如图，连结AH，AE，EC。
由H为△ABC的垂心知，?AHC??ABC?180?。 由A、B、C、E四点共圆，得?AEC??ABC?180?。 ∴ ?AEC??AHC。 …………… 5分 又CH?CE，?CEH??CHE， ∴ ?AEH??AHE，AE?AH。
∴ AC垂直平分线段HE。…………………… 10分 解法二：
作点H关于直线AC的对称点G。连结AH，AG，GC。则CG?CH，点G在以C为圆心、CH长为半径的圆上。 …………………… 5分
又?AGC??AHC，H为△ABC的垂心，
∴ ?AGC??AHC?180???ABC，A、G、C、B四点共圆。因此，点G也在圆O上。
∴ E、G两点重合。
（第12题）
ADOBFHCEA(G)DOBFHEC因此，E、H关于直线AC对称，即AC垂直平分线段HE。…………… 10分 （2） 连结CF，BH。依题意有CE?CH?CF。结合D为线段EF的垂直平分线与圆O的交点，知CD为圆O的直径。
∴ DA?AC。
又由（1），以及H为△ABC的垂心知，HE?AC，
ADOBFHCEBH?AC。因此，B、H、E三点共线。
∴ BE?AC。 …………………… 15分 ∴ ?DCE?90???CDE?90???CBE??ACB。 ∴ DAE?ADB。
∴ DE?AB。 …………………… 20分
或：通过△DAE≌△ADB，证明DE?AB。或通过证明四边形ADBE等腰梯形，证明
DE?AB。
13．对于整数n?3，用?(n)表示所有小于n的素数的乘积。求满足条件?(n)?22n?32的
所有正整数n。
【解答】解法一：若n?11，则11整除?(n)，但11不能整除22n?32。
因此，n?11不符合要求。故，n?11。 ……………………………… 10分 若7?n?11，则?(n)?2?3?5?7?210，由210?22n?32，得n?11。………… 15分 若5?6?7，则?(n)?2?3?5?30，由30?22n?32，得正整数n不存在。 若3?n?5，则?(n)?2?3?6，由6?22n?32，得正整数n不存在。 若n?3，则?(n)?2，由2?22n?32，得正整数n不存在。
∴ 满足条件的正整数n只有1个，n?11。 ………………… 20分
解法二：由?(n)?22n?32，得?(n)?1024?22(n?48)。
由于?(n)是偶数，但不是4的倍数，因此，n?48是奇数。 ……………… 5分 若n?48?3，则n?48含有奇数的素数因子p，即p为奇素数，且p整除n?48。 由n?48?n知，p整除?(n)。由此p整除1024，矛盾。
故，n?48?3，即n?49，且n为奇数。 …………………… 10分 ∵ n?49时，22n?32?22?49?32?1046， ∴ ?(n)?1046。
又2?3?5?7?210，2?3?5?7?11?210?11?1046。
∴ n?11。即n?3，5，7，9，11。 ………………… 15分 将n?3，5，7，9，11分别代入?(n)?22n?32验证，
n?3时，?(3)?2，22n?32?34，不符合要求。 n?5时，?(5)?2?3?6，22n?32?78，不符合要求。 n?7时，?(7)?2?3?5?30，22n?32?122，不符合要求。 n?9时，?(9)?2?3?5?7?210，22n?32?166，不符合要求。 n?11时，?(11)?2?3?5?7?210，22n?32?210，符合要求。
∴ 满足条件的正整数n只有1个，n?11。 ………………… 20分
14．在一个m?n（m行，n列，m?1）的表格的每个方格内填上适当的正整数，使得：
（1）每一列所填的数都是1，2，3，…，m的一个排列；（即在每一列中，1，2，3，…，
m这m个数出现且仅出现1次）
（2）每一行n个的数和都是34。
当上述的填数方式存在时，求(m，n)的所有可能取值。 【解答】依题意，每列m个数的和为1?2?3?的和为34。
所以，
m(m?1)?n?34m，(m?1)n?68?22?17。 …………………… 5分 2?m?m(m?1)，共n列。又每行m个数2又m?1。所以，(m，n)?(67，1)，(33，2)，(16，4)，(3，17)。
当(m，n)?(67，1)时，每一行1个数的和互不相同，与（2）矛盾，即符合条件的填数方式不存在。舍去。
记aij为第i行，第j列所填写的数。
当(m，n)?(33，2)时，令ai1?i，ai2?34?i。
即当第1列自上而下各行所填的数依次为1，2，3，…，33；第2列自上而下各行所填的数依次为33，32，31，…，1时，符合要求。 ……………………… 10分
当(m，n)?(16，4)时，令ai1?i，ai2?17?i，ai3?i，ai4?17?i。
即当第1列自上而下各行所填的数依次为1，2，3，…，16；第2列自上而下各行所填的数依次为16，15，14，…，1；第3列同第1列；第4列同第2列时，符合要求。
……………………… 15分 当(m，n)?(3，17)时， 填写方式如下： 2 3 1 3 1 2 1 2 3 1 2 3 3 2 1 1 2 3 3 2 1 1 2 3 3 2 1 1 2 3 3 2 1 1 2 3 3 2 1 1 2 3 3 2 1 1 2 3 3 2 1 符合要求。
所以，符合题意的填数方式存在时，(m，n)的所有可能取值有3种，分别为：
(m，n)?(33，2)，(16，4)，(3，17)。 ……………………………… 20分
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