中考 2020
当k＞1时，如图1，
S△PAB＝S△PMN－S△OBN＋S△OAM,
111
＝MN﹒PH－ON﹒yB＋OM﹒|yA|, 222111
＝×2k×k－(k＋1)×1＋(k－1)×1, 2222
＝k－1;
当0＜k＜1时，如图2，
S△PAB＝S△OBN－S△PMN＋S△OAM,
121
＝ON﹒yB－k＋OM﹒|yA|, 22121
＝(k＋1)×1－k＋(1－k)×1, 222＝1－k．
例4、问题呈现：如图1，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，AE＝DG，
求证：2S四边形EFGH＝S矩形ABCD．（S表示面积）
实验探究：某数学实验小组发现：若图1中AH≠BF，点G在CD上移动时，上述结论会发生
变化，分别过点E、G作BC边的平行线，再分别过点F、H作AB边的平行线，四条平行线分别相交于点A1、B1、C1、D1,得到矩形A1B1C1D1．
如图2，当AH＞BF时，若将点G向点C靠近(DG＞AE)，经过探索，发现：2 S四
边形EFGH＝S矩形ABCD＋S矩形A1B1C1D1．
如图3，当AH＞BF时，若将点G向点D靠近(DG＜AE)，请探索S四边形EFGH、S矩形ABCD与S矩形A1B1C1D1,之间的数量关系，并说明理由．
迁移应用：请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题：
（1）如图4，点E、F、G、H分别是面积为25的正方形ABCD各边上的点，已知AH＞BF，AE＞DG，S四边形EFGH＝11，HF＝29,求EG的长．
（2）如图5，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E、H分别在边AB、AD上，BE＝1，DH＝2，
点F、G分别是边BC、CD上的动点，且FG＝10,连接EF、HG，请直接写出四边形EFGH面积的最大值．
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【解答】问题呈现：证明：如图1中，
∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，∠A＝90°， ∵AE＝DG，
∴四边形AEGD是矩形， 1
∴S△HGE＝S四边形EFGH，
21
同理S△EGF＝S矩形BEGC，
2
1
∴S四边形EFGH＝S△HGE＋S△EFG＝S矩形ABCD．
2
实验探究：结论：2 S四边形EFGH＝S矩形ABCD－S矩形A1B1C1D1．
理由：∵
=12
=12
，∴S，
四边形
=
EFGH12
+
，
+
=
12+
，﹣
=
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，∴2S2
四边形EFGH=2+2+2+2﹣
，∴2S四边形EFGH=S矩形ABCD﹣S矩形A1B1C1D1．
迁移应用：解：（1）如图4中，∵2S四边形EFGH=S矩形ABCD﹣S2
矩形A1B1C1D1
，∴S矩形A1B1C1D1
=25﹣
2×11=3=A1B1A1D1，∵正方形的面积为25，∴边长为5，∵A1D1=HF﹣5=29﹣25=4，∴A1D1=2，
22
A1B1=
1093222109，∴EG=A1B1+5=，∴EG=．
224（2）∵2 S四边形EFGH＝S矩形ABCD＋S矩形A1B1C1D1．
∴四边形A1B1C1D1面积最大时，四边形EFGH的面积最大．
①如图5－1中，当G与C重合时，四边形A1B1C1D1面积最大时，四边形EFGH的面积最大． 此时矩形A1B1C1D1面积＝1﹒(10－2)＝10－2
②如图5－2中，当G与D重合时，四边形A1B1C1D1面积最大时，四边形EFGH的面积最大．此17
时矩形A1B1C1D1面积＝2﹒1＝2，∵2＞10－2,∴四边形EFGH的面积最大值＝．
2例5、定义：点P是△ABC内部或边上的点（顶点除外），在△PAB，△PBC，△PCA中，若至少有一个三角形与△ABC相似，则称点P是△ABC的自相似点．
例如：如图1，点P在△ABC的内部，∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC，则△BCP∽△ABC，故点P是△ABC的自相似点．
请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：
3 3
在平面直角坐标系中，点M是曲线y＝(x＞0)上的任意一点，点N是x轴正半轴上
x的任意一点．
（1）如图2，点P是OM上一点，∠ONP＝∠M，试说明点P是△MON的自相似点；当点M的
坐标是( 3,3),点N的坐标是( 3,0)时，求点P的坐标；
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（2）如图3，当点M的坐标是(3, 3),点N的坐标是(2，0)时，求△MON的自相似点的坐
标；
（3）是否存在点M和点N，使△MON无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不
存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵∠ONP＝∠M，∠NOP＝∠MON， ∴△NOP∽△MON，
∴点P是△MON的自相似点；
过P作PD⊥x轴于D，则tan∠POD＝＝3, ∴∠MON＝60°，
∵当点M的坐标是(3,3),点N的坐标是(3,0), ∴∠MNO＝90°， ∵△NOP∽△MON， ∴∠NPO＝∠MNO＝90°， 在Rt△OPN中，OP＝ONcos60°＝∴OD＝OPcos60°＝∴P?
3
, 2
MNON313333
×＝,PD＝OP﹒sin60°＝×＝,{{dbc5494c.png}} 224224
?33?
,?; ?44?
（2）作MH⊥x轴于H，如图3所示：
∵点M的坐标是(3,3),点N的坐标是(2，0)， ∴OM＝
322
3＋(3)＝23,直线OM的解析式为y＝x,ON＝2，∠MOH＝30°，
3
分两种情况：
①如图3所示：∵P是△MON的相似点，
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