2020版高考数学大二轮复习 专题二 数列 第一讲 等差数列、等比数列限时规范训练 文

12．(2019·合肥二模)“垛积术”(隙积术)是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等．某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n件．已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的

9?9?n.若这堆货物总价是100－200??万元，则n的值为( ) 10?10?

A．7 C．9

B.8 D.10

?9?n－1

解析：由题意可得第n层的货物的价格为an＝n·??，

?10?

?9?0?9?1?9?2?9?n－1

设这堆货物总价是Sn＝1·??＋2·??＋3·??＋…＋n·??，①

?10??10??10??10?

99?9?1?9?2?9?3?9?n由①×可得Sn＝1·??＋2·??＋3·??＋…＋n·??，②

1010?10??10??10??10?

?9?n1－??1?10??9?1?9?2?9?3?9?n－1?9?n?9?n由①－②可得Sn＝1＋??＋??＋??＋…＋??－n·??＝－n·??＝

109?10??10??10??10??10??10?

1－10?9?n10－(10＋n)·??，

?10??9?n∴Sn＝100－10(10＋n)·??，

?10??9?n∵这堆货物总价是100－200??万元，

?10?

∴n＝10， 故选D. 答案：D

13．(2019·高考全国卷Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a3＝5，a7＝13，则S10＝________. 解析：∵{an}为等差数列，a3＝5，a7＝13， ∴公差d＝

a7－a313－5

7－3

＝4

＝2，

首项a1＝a3－2d＝5－2×2＝1，

10×9

∴S10＝10a1＋d＝100.

2答案：100

14．(2019·安徽合肥二模)已知各项均为正数的数列{an}前n项和为Sn，若S1＝2,3Sn－2an＋1Sn＝an＋1，则an＝________. 解析：由S1＝2，得a1＝S1＝2. 由3Sn－2an＋1Sn＝an＋1， 得4Sn＝(Sn＋an＋1).

又an>0，∴2Sn＝Sn＋an＋1，即Sn＝an＋1. 当n≥2时，Sn－1＝an， 两式作差得an＝an＋1－an，即

2

2

2

2

2

2

2

2

an＋1

＝2. an又由S1＝2,3S1－2a2S1＝a2，求得a2＝2. ∴当n≥2时，an＝2×2

n－2

＝2

n－1

.

验证当n＝1时不成立，

?2，n＝1，?

∴an＝?n－1

??2，n≥2.?2，n＝1，?

答案：?n－1

??2，n≥2

π2x15．已知数列{an}满足an＋2－2an＋1＋an＝0，且a4＝，若函数f(x)＝sin 2x＋2cos，记yn22＝f(an)，则数列{yn}的前7项和为________．

解析：根据题意，数列{an}满足an＋2－2an＋1＋an＝0，则数列{an}是等差数列， π

又由a4＝，则a1＋a7＝a2＋a6＝a3＋a5＝2a4＝π，

2函数f(x)＝sin 2x＋2cos＝sin 2x＋cos x＋1，

2

2

xf(a1)＋f(a7)＝sin 2a1＋cos a1＋1＋sin 2a7＋cos a7＋1＝sin 2a1＋cos a1＋1＋sin 2(π－a1)＋cos (π－a1)＋1＝2，

π

同理可得：f(a2)＋f(a6)＝f(a3)＋f(a5)＝2，f(a4)＝sin π＋cos ＋1＝1，

2则数列{yn}的前7项和f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋f(a4)＋f(a5)＋f(a6)＋f(a7)＝7； 故答案为7. 答案：7

→→→

16．如图，点D为△ABC的边BC上一点，BD＝2DC，En(n∈N)为AC上一列点，且满足：EnA＝

→→1111

(4an－1)EnD＋EnB，其中实数列{an}满足4an－1≠0，且a1＝2，则＋＋

4an＋1－5a1－1a2－1a3－1＋…＋

1

＝________. an－1

解析：点D为△ABC的边BC上一点， →

BD＝2DC，EnD－EnB＝2(EnC－EnD)，

→3→1→∴EnC＝EnD－EnB

22

→→3λ→λ→

又EnA＝λEnC＝EnD－EnB，

221

4an－1＝－3×，

4an＋1－5

－334an－4

∴4an＋1－5＝，4an＋1－4＝1－＝，

4an－14an－14an－1

→→→→→

an＋1－1＝

an－1， 4an－1

14an－13

＝＝4＋，

an＋1－1an－1an－1∴∴

1?1＋2?，

＋2＝3??an＋1－1?an－1?1n＋2＝3， an－1

1n＝3－2. an－1

3×?1－3?3Sn＝－2n＝

1－33

故答案为：3答案：

n＋1

n＋1nn＋1

－3－4n. 2

－3－4n. 2

－3－4n 2