广东省佛山市南海区2020届高考数学模拟试卷(理科)(3月份)(解析版)

则当0＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）递减；x＞时，f′（x）＞0，f（x）递增．

可得f（x）在x＝处取得极小值，且为最小值f（）＝ln+1＝1﹣ln3，

由1﹣ln3＜0，则f（x）在（0，+∞）有两个零点，即方程lnx1+根，

所以曲线G上的“水平黄金点”的个数为2， 故选：C．

＝0有两个不等实

【点评】本题考查导数的运用：求单调性和极值、最值，考查新定义“水平黄金点”的理解和应用，考查函数方程的转化思想，以及化简运算能力和推理能力，属于中档题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13．【分析】设符合条件的点P（x0，y0），则|PF|＝x0+1＝5即可求解． 【解答】解：设符合条件的点P（x0，y0），

则|PF|＝x0+1＝5，∴x0＝4，y0＝±4，所以符合条件的点有2个． 故答案为：2

【点评】本题考查了抛物线的性质，属于基础题． 14．【分析】利用递推关系可得即比为的等比数列，从而可求得答案．

，可判断数列{an}是首项为﹣1，公

【解答】解：当n＝1时，S1+a1＝2a1＝﹣2?a1＝﹣1， 由Sn+an＝﹣2，可知当n≥2时，Sn﹣1+an﹣1＝﹣2， 两式相减，得2an﹣an﹣1＝0， 即

，

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所以数列{an}是首项为﹣1，公比为的等比数列，

所以．

故答案：．

【点评】本题考查数列递推式，求得2an﹣an﹣1＝0是关键，考查推理与运算能力，属于中档题．

15．【分析】求得f（2），化简计算可得λ的取值范围；不等式f（n）≥0恒成立，即2n3﹣7n2cosnπ﹣λn﹣1≥0恒成立，讨论n为奇数和偶数，由参数分离和构造数列，求得导数，判断单调性可得最值，进而得到所求最大值．

【解答】解：由函数f（n）＝2n3﹣7n2cosnπ﹣λn﹣1，若f（2）≥0， 则16﹣28cos2π﹣2λ﹣1≥0，即15﹣28﹣2λ≥0，解得λ≤﹣

；

不等式f（n）≥0恒成立，即2n3﹣7n2cosnπ﹣λn﹣1≥0恒成立，

当n为奇数时，2n3+7n2﹣λn﹣1≥0即λ≤2n2+7n﹣恒成立，等价为λ≤（2n2+7n﹣）

min，

设g（n）＝2n2+7n﹣，g′（n）＝4n+7+得g（n）的最小值为g（1）＝8， 可得λ≤8；①

＞0，可得g（n）在正奇数集上递增，可

当n为偶数时，2n3﹣7n2﹣λn﹣1≥0即λ≤2n2﹣7n﹣恒成立，等价为λ≤（2n2﹣7n﹣）

min，

设h（n）＝2n2﹣7n﹣，g′（n）＝4n﹣7+可得g（n）的最小值为g（2）＝﹣

．

＞0，可得g（n）在正偶数集上递增，

可得λ≤﹣

．②

14

由①②可得不等式f（n）≥0恒成立，可得λ≤﹣．即λ的最大值为﹣．

故答案为：λ≤﹣，﹣．

【点评】本题主要考查不等式恒成立问题解法，注意运用分类讨论思想和分离参数，以及构造数列法，结合导数判断单调性是解题的关键，属于中档题．

16．【分析】分别取CC1和C1D1的中点为M，N，连接MN、MB1、NB1，然后利用面面平行的判定定理证明平面MNB1∥平面A1BE，从而确定平面MNB1就是平面α． 当F为线段MN的中点时，可证明①；

②利用平移的思想，将直线B1F与直线BC所成角转化为B1F与B1C1所成的角，由于B1C1⊥平面MNC1，所以tan∠FB1C1即为所求，进而求解即可；

③平面MNB1与平面CDD1C1所成的锐二面角即为所求，也就是求出tan∠B1QC1即可； ④由正方体的对称性和二面角的含义即可判断． 【解答】解：如图所示，

设正方体的棱长为2，分别取CC1和C1D1的中点为M，N，连接MN、MB1、NB1，则MN∥A1B，MB1∥EA1，

∵MN、MB1?平面MNB1，A1B、EA1?平面A1BE，且MN∩MB1＝M，A1B∩EA1＝A1， ∴平面MNB1∥平面A1BE，

∴当F在MN上运动时，始终有B1F∥平面A1BE，即平面MNB1就是平面α．

15

对于①，当F为线段MN的中点时，∵MB1＝NB1，∴B1F⊥MN，∵MN∥CD1，∴B1F⊥CD1，即①正确；

对于②，∵BC∥B1C1，∴直线B1F与直线B1C1所成的角即为所求， ∵B1C1⊥平面MNC1，C1F?平面MNC1，∴B1C1⊥C1F，

∴直线B1F与直线B1C1所成的角为∠FB1C1，且tan∠FB1C1＝，

而FC1的取值范围为，B1C1＝2，所以tan∠FB1C1∈[，]，即②正确；

对于③，平面MNB1与平面CDD1C1所成的锐二面角即为所求， 取MN的中点Q，因为B1C1⊥平面MNC1，所以∠B1QC1就是所求角，

而tan∠B1QC1＝，即③正确；

对于④，由对称性可知，与α所成的锐二面角相等的面有平面BCC1B1，平面ADD1A1，平面A1B1C1D1，平面ABCD，即④正确． 故答案为：①②③④．

【点评】本题考查空间立体几何的综合，涉及空间线面的位置关系、异面直线的夹角和面面角等问题，考查学生的空间立体感和逻辑推理能力，属于难题．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．

17．【分析】（1）先求出sinC，再利用两角和的余弦公式即可求出cosA； （2）在△ADC中利用正弦定理得到λ的取值范围．

，又sin∠DAC∈（0，1]，从而求出

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