【解答】解：（1）由题意可知b＝2，
，又由a2﹣c2＝b2，得
，
所以椭圆M的方程为；
（2）证明：设直线l的方程为为：y＝kx+1，
联立
，消元可得：（2+3k2）x2+6kx﹣9＝0，设Q（x1，y1），N（x2，y2），
则有，
因为，
所以，
又因为点B与点Q关于原点对称，所以B（﹣x1，﹣y1），即，
则有，由点Q在椭圆上，得
，
所以，所以
，即kAN＝3kAB，
所以存在实数，使kAN＝λkAB成立．
解法二：证明：设直线l的方程为为：y＝kx+1，
联立
，消元可得：（2+3k2）x2+6kx﹣9＝0，设Q（x1，y1），N（x2，y2），则
21
B（﹣x1，﹣y1）， 则有
，
所以，，，，
所以
，
所以存在实数，使kAN＝λkAB成立．
【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式的应用，考查转化思想，计算能力，属于中档题．
21．【分析】（1）对函数求导，然后结合导数与单调性的关系可判断函数的单调性，进而可确定极值的个数；
（2）结合零点存在的条件，对已知等式进行合理的变形，结合所得式子特点，进行构造函数，结合导数即可证明． 【解答】解：（1）当以f'（x）在
时，f'（x）＝k（2x﹣e递增．
﹣kx
），（f'（x））'＝k（2+ke
﹣kx
）＞0，所
所以
（x）没有极值点；
．所以f（x）在递增，所以函数f
（2）因为g（x）＝f（x）+x2﹣mlnx＝（k+1）x2﹣mlnx+e
﹣kx
，
存在实数t，使直线y＝t与函数g（x）的图象交于不同的两点A（x1，t），B（x2，t）， 即存在
且x1＜x2，使g（x1）＝g（x2）．
22
由g（x1）＝g（x2）可得：＜x2，
由（1）可知f（x2）＞f（x1），可得：
．
，x1
所以，即．
下面证明，只需证明：．
令，则证：，即．
设h（s）＝s﹣，那么．
所以h（s）＞h（1）＝0．所以
，即m＞2x1x2．
【点评】本题主要考查了导数与函数性质的综合应用，体现了转化思想及构造思想的应用．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．
（2）利用电荷曲线的位置关系的应用求出结果．
【解答】解析：（1）曲线M的参数方程为（α为参数），转换为直角坐标方
23
程为，转换为极坐标方程是．
（2）当时，线段OA取得最小长度为．
因为曲线M是以原点为圆心，半径为的圆，所以．
所以点A与曲线M的位置关系是点A在曲线M外．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点和线的位置关系的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． [选修4-5：不等式选讲]
23．【分析】（1）根据a＞b≥0，a≥c≥d，且ab≥cd，取a＝2，b＝1，c＝1，d＝﹣1，符合a+b≥2（c+d）；
（2）由题意可知，a≠0，然后通过证明成立．
【解答】解：（1）根据a＞b≥0，a≥c≥d，且ab≥cd． 取a＝2，b＝1，c＝1，d＝﹣1，则a+b≥2（c+d）成立， 故可取a＝2，b＝1，c＝1，d＝﹣1（答案不唯一）． （2）证明：由题意可知，a≠0． ∵a≥c≥d，∴（a﹣c）（a﹣d）≥0．
∴a2﹣（c+d）a+cd≥0，即a2+cd≥（c+d）a． ∵a＞b≥0，∴
．
，
成立，即可证明a+b≥c+d
∵ab≥cd，∴．
∴
．
24
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