3.2立体几何中的向量方法(导学案)
【学习目标】
1．在学习了方向向量的基础上理解平面的法向量的概念，为进一步运用打好基础； 2．学会由直线的方向向量和平面的法向量的关系及向量的运算来判断或证明直线、平面的位置关系；
3．学会运用直线的方向向量、平面的法向量及向量的运算来解决关于直线、平面的夹角及距离的问题（主要是关于角的问题）；
4．能初步利用向量知识解决相关的实际问题及综合问题. 【学习重点】向量运算在立体几何证明与计算中的应用．
【学习难点】在运用向量知识解决立体几何问题时的向量问题的转化与恰当的运算方式． 【学习过程】 一、双基回眸
前面我们已经学习了空间向量的基本知识，并利用空间向量初步解决了一些立体几何问题，已初步感受到空间向量在解决立体几何问题中的重要作用，并从中体会到了向量运算的强大作用.这一节，我们将全面地探究向量在立体几何中的运用，较系统地总结出立体几何的向量方法.为此，首先简单回顾一下相关的基本知识和方法：
1．直线l的方向向量的含义： . 2．向量的特殊关系及夹角（最后的填空是用坐标表示） （1）a//b? ? ；
（2）a⊥b? ? ； （3）a·a＝ = ； （4）cos＜a,b＞＝ = . 二、创设情景
前面，我们主要是利用向量的运算解决了立体几何中关于直线的问题，如：两直线垂直问题；两直线的夹角问题；特殊线段的长的问题等等……
若再加入平面，会出现更多的的问题，如：线面、面面的位置关系问题；线面的夹角问题；二面角的问题等等……而且都是立体几何中的重要问题，这些问题用向量的知识怎样来解决呢？直线可由其方向向量确定并由其来解决相关的问题，平面又由怎样的向量来确定呢？
——这些问题就是我们将要探究或解决的主要问题…… 三、合作探究
同学们都知道：垂直于同一条直线的两个平面 .
由此我们应该会想象出怎样的向量可确定平面的方向了……下面请同学们合作探究一下
这方面的知识和方法：
（一）．平面的法向量：
. （二）．直线、平面的几种重要的位置关系的充要条件：
请同学们根据直线的方向向量和平面的法向量的几何意义直观地得出直线、平面的几种特殊的位置关系的充要条件（用直线的方向向量或平面的法向量来表达）
设直线l , m的方向向量分别为 a,b，平面?，? 的法向量分别为u，v，则：
l∥m? ? ；l⊥m? ? ； l∥?? ? ；l⊥?? ? ；
?∥?? ? ；?⊥?? ? .
【小试牛刀】
1．设直线l , m的方向向量分别为 a，b，根据下列条件判断直线l , m的位置关系：
（1）a= （2 ，-1 ，-2），b=（6 ，-3，-6）； （2）a= （1 ， 2 ，-2），b=（-2， 3， 2）； （3）a= （0 ， 0， 1），b=（0 ， 0，-3）.
2．平面? ，? 的法向量分别为u，v，根据下列条件判断平面? ，?的位置关系：
（1）u= （-2 ，2 ， 5），v=（6 ，-4， 4）； （2）u= （ 1 ，2 ，-2），v=（-2，-4， 4）； （3）u= （ 2 ，-3 ，5），v=（-3 ，1，-4）.
3．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：D1F? 平面ADE．（你能用几种方法呢？ ）
2
（三）利用向量方法证明——平面与平面平行的判定定理
【定理】一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 已知：直线l, m和平面?，?，其中l,m??，l 与m相交，
l∥?，m∥?，求证：?∥?
【分析】根据?∥??u∥v，所以只要证明u∥v即可，那需要证明u，v都是平面?的法向量
四、互动达标
关于两特殊点间距离的问题 此类问题前面已经接触过，下面再来总结及拓展一下：
问题.1如图,一个结晶体的形状为平行六面体,其中顶点A为端点的三条棱长都相等,且它们
彼此的夹角都是60°,那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系. 【分析】根据前面所学的方法，可将AC1用与棱相关的向量表示出来，通过运算求解…… 【解析】
D1 A1 C1
B1
D A
B
C
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【探究】
1.本题中平行六面体的另一条对角线的长与棱长有什么关系?
2.如果一个平行六面体的各棱长都相等,并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都是等于
?,那么由这个平行六面体的对角线长可以确定棱长吗?
3.本题的晶体中相对的两个面之间的距离是多少?
【分析】显然，第1个问题与问题.1类似；第２个问题是问题.1的逆向问题，所列的式子应该是一样的，只不过未知数的位置不同……；第３个问题略有挑战性，可把两个面之间的距离转化为两点的距离或点到面的距离——对于这个问题，同学们可在课后先探究一下，以后在进行总结……下面我们再来看一个问题.1的逆向问题：
问题.２如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处.从A，B到直线l（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为a和 b ,CD的长为 c, AB的长为d .求库底与水坝所成二面角的余弦值.
【分析】正如上面的分析，此题是问题.1的逆向问题，解决方法与问题.1一致…… 【解析】
?C
B D ?A 4
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