泰勒公式及其应用典型例题

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泰勒公式及其应用

常用近似公式

，将复杂函数用简单

的一次多项式函数近似地表示，这是一个进步。当然这种近似表示式还较粗糙（尤其当

较大时），从下图可看出。

上述近似表达式至少可在下述两个方面进行改进： 1、提高近似程度，其可能的途径是提高多项式的次数。

2、任何一种近似，应告诉它的误差，否则，使用者“ 心中不安”。

将上述两个想法作进一步地数学化： 对复杂函数希望

，想找多项式

来近似表示它。自然地，我们所具有的性态 —— 如：在某点的形式如何确定；。

近似

所

尽可能多地反映出函数

处的值与导数值；我们还关心产生的误差【问题一】

设

在含的

的开区间具有直到阶的导数，能否找出一个关于

次多项式

.

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近似

?

【问题二】

若问题一的解存在，其误差

的表达式是什么?

一、【求解问题一】

问题一的求解就是确定多项式的系数

。

……………

上述工整且有规律的求系数过程，不难归纳出：

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于是， 所求的多项式为：

(2)

二、【解决问题二】

泰勒(Tayler)中值定理

若函数当

在含有时，

的某个开区间

具有直到

阶导数，则

可以表示成

这里是

与之间的某个值。

先用倒推分析法探索证明泰勒中值定理的思路：

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这表明：

只要对函数 之间反复使用【证明】以

与为端点的区间

及

在与

次柯西中值定理就有可能完成该定理的证明工作。

或

记为

，

。

阶的导数，

函数 且

在上具有直至

函数 且

于是，对函数 定理， 有

在上有直至阶的非零导数，

及 在上反复使用 次柯西中值

.

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三、几个概念

1、

此式称为函数或者称之为函数当

按在点

的幂次展开到 处的

阶的泰勒公式；

阶泰勒展开式。

时， 泰勒公式变为

这正是拉格朗日中值定理的形式。 因此，我们也称泰勒公式中的余项。

为拉格朗日余项。

2、对固定的，若

有

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