第十一章 概率与统计——第90课时：随机变量的分布列、期望和方差
课题：随机变量的分布列、期望和方差 教学目的： 1．通过本课的教学，对本单元知识内容进行梳理，加深有关概念的理解，在综合运用知识能力上提高一步。 2．通过对几道例题的讲解、讨论和进一步的练习，提高学生灵活运用本单元知识解决问题的能力。 教学重点、难点：对于离散型随机变量，我们关心的是它会取哪些值、取这些值的概率、取值的平均值、稳定性等．这部分内容的实用性较强，教学过程中，要重点引导学生分析、解决一些实际问题，提高学生综合运用知识解决实际问题的能力． 教学过程： 1．通览基础知识 项目 内容 随机变量 离散型随机变量 连续型随机变量 离散型随机变量的分布列 离散型随机变量的分布列的性质 二项分布 离散型随机变量的期望及其计算公式 离散型随机变量的方差及其计算公式 2.提出随机变量ξ的分布列的概念，总结任一离散型随机变量的分布列具有的两个简单性质 在分析和研究上述例子的基础上，概括出： 一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为 x1, x2, …，xi,…, ξ取每一个值xi (I=1，2，…)的概率为P(ξ= xi)=Pi，则称表 ξ x1 x2 … xi … P P1 P2 … Pi … 为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列。 离散型随机变量的分布列的两个简单性质： (1) Pi≥0，I=1，2，…； (2) P1 +P2 +…=1． 3．讲参考例题 例1 一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球的一半，现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得-1分，试写出从该盒中随第十一章 概率与统计——第90课时：随机变量的分布列、期望和方差
机取出一球所得分数ξ的分布列。 解：设黄球的个数为n，依题意知道绿球个数为2n，红球个数为4n，盒中球的总数为7n。 4n42n2n1?P(??1)??,P(???1)??,P(??0)?? 7n77n77n7则从该盒中随机取出一球所得分数ξ的分布列为 ξ 1 -1 0 421 P 777例2 一个类似于细胞分裂的物体，一次分裂为二，两次分裂为四，如此1（n?1,2,3,?）继续分裂有限多次，而随机终止。设分裂n次终止的概率是n。2记ξ为原物体在分裂终止后所生成的子块数目。求P(ξ≤10)。 解：依题意，原物体在分裂终止后所生成的子块数目ξ的分布列为 ξ 2 3 8 16 … … 2n 11111 P … … 248162n1117所以 P(ξ≤10)= P(ξ=2)+ P(ξ=4) +P(ξ=8) =++= 2488例3((2000年高考题)某厂生产电子元件，其产品的次品率为5％。现从一批产品中任意的连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布。 解：依题意，随机变量ξ~B（2，5%）。所以， 021P(??0)?C（）?0.9025，P(??1)?C（）（95%）?0.095295%% 22P(??2)?C（）?0.002525%因此，次品数ξ的概率分布是 ξ 0 1 2 P 0.9025 0.095 0.0025 例4．重复抛掷一枚骰子5次，得到点数为6的次数记为ξ，求P(ξ>3)。 1解：依题意，随机变量ξ~B（5，） 62514145515?P(??4)?C（）?，P(??5)?C（）?5566777667776 13?P（??3）?P(??4)?P(??5)?3888 例5涉及次品率；抽样是否放回的问题．本例采用不放回抽样，每次抽样后次品率将会发生变化，即各次抽样是不独立的．如果抽样采用放回抽样，则各次抽样的次品率不变，各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件． 第十一章 概率与统计——第90课时：随机变量的分布列、期望和方差
例5 一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望． 解：设取得正品之前已取出的次品数为ξ，显然ξ所有可能取的值为0，1，2，3 当ξ=0时，即第一次取得正品，试验停止，则 93P（ξ=0）=? 124当ξ=1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则 399P（ξ=1）=?? 121144当ξ=2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则 3299P（ξ=2）=??? 121110220当ξ=3时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则 32191P（ξ=3）=???? 121110922039913?2??3?? 所以，Eξ=0??1?44422022010 例6涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题．由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的．解答本题，关键是理解清楚：抽200件商品可以看作200次独立重复试验，即ξ~B（200，1%），从而可用公式：Eξ=np，Dξ=npq(这里q=1-p)直接进行计算。 例7 有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求Eξ，Dξ。 解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以ξ~B（200，1%）。因为Eξ=np，Dξ=npq，这里n=200，p=1%，q=99%，所以， Eξ=200×1%=2,Dξ=200×1%×99%=1.98 例8是一道纯数学问题．要求学生熟悉随机变量的期望与方差的计算方法，关键还是掌握随机变量的分布列．求出方差Dξ=P(1-P)后，我们知道Dξ=是关于P(P≥0)的二次函数，这里可用配方法，也可用重要不等式证明结论。 例8 设事件A发生的概率为p，证明事件A在一次试验中发生次数ξ的方差不超过1/4。 证明： 因为ξ所有可能取的值为0，1。且P（ξ=0）=1-p,P(ξ=1)=p,所以， 第十一章 概率与统计——第90课时：随机变量的分布列、期望和方差
Eξ=0×(1-p)+1×p=p 。则 ?p?(1?p)?1Dξ=（0-p）×(1-p)+(1-p)×p=p(1-p) ???? 2??4 例9中的两个随机变量ξA和ξB&都以相同的概率0．1，0．2，0．4，0．1，0．2取5个不同的数值．ξA取较为集中的数值110，120，125，130，135；ξB取较为分散的数值100，115，125，130，145．直观上看，猜想A种钢筋质量较好．但猜想不一定正确，需要通过计算来证明我们猜想的正确性。 例9有A、B两种钢筋，从中取等量样品检查它们的抗拉强度，指标如下： ξA 110 120 125 130 135 ξB 100 115 125 130 145 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 其中ξA、ξB分别表示A、B两种钢筋的抗拉强度．在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120，试比较A、B两种钢筋哪一种质量较好。 解：先比较ξA与ξB的期望值，因为 EξA=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125, EξB=100×0.1+115×0.2+125×0.4十130×0.1+145×0.2=125. 所以，它们的期望相同．再比较它们的方差．因为 DξA=(110-125)2×0.1+(120-125) 2 ×0.2+(130-125) 2×0.1+(135-125) 2×0.2=50， DξB=(100-125)2×0.1+(110-125) 2 ×0.2+(130-125) 2×0.1+(145-125) 2×0.2=165. 所以，DξA < DξB.因此，A种钢筋质量较好。 例10学们身边常遇到的现实问题，比如福利彩票、足球彩票、奥运彩票等等．一般来说，出台各种彩票，政府要从中收取一部分资金用于公共福利事业，同时也要考虑工作人员的工资等问题．本题的“不考虑获利”的意思是指：所收资金全部用于奖品方面的费用。 例10 在有奖摸彩中，一期(发行10000张彩票为一期)有200个奖品是5元的，20个奖品是25元的，5个奖品是100元的．在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元？ 解：设一张彩票中奖额为随机变量ξ，显然ξ所有可能取的值为0，5，25，100。依题 意，可得ξ的分布列为 ξ 0 5 25 100 391111 P 500200040050391111E??0??5??25??100??0.2 400505002000 答：一张彩票的合理价格是0．2元． 3．课堂练习 2 22第十一章 概率与统计——第90课时：随机变量的分布列、期望和方差
(1)公共汽车站每隔5分钟有一辆公共汽车通过，一乘客到达该站的任一时刻是等可能的．求 ①该乘客候车不超过3分钟的概率；(答案：0.6) ②该乘客候车时间的平均值．(答案：3分钟) (2)设篮球队A与B进行比赛，若有一队先胜4场则宣告比赛结束，假定A、B在每场比赛中获胜的概率都为0.5。试求需要比赛场数的平均值．(答93?6场) 案：Eξ?164．归纳总结 由于本课前面部分就是小结，所以这里着重对几个例题的解题思路进行总结。
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