统计学常用分布及其分位数

统计学常用分布及其分

位数

Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

§ 常用的分布及其分位数

1. 卡平方分布

卡平方分布、t分布及F分布都是由正态分布所导出的分布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。

当X1、X2、…、Xn相互独立且都服从N(0,1)时，Z=?Xi 的分布称为自由度等于n的?2分布，记作Z～

inz?1?1??nx2e2,z?02 ?(n)，它的分布密度 p(z)=??n??22?????2??0,其他,?2式中的???=?0u?2??n??2???n?1?u2edu，称为Gamma函数，且

1???1?=1， ????=π。?2分布是非对称分布，具有可加性，

即当Y与Z相互独立，且Y～?2(n)，Z～?2(m)，则Y+Z～?2(n+m)。

证明: 先令X1、X2、…、Xn、Xn+1、Xn+2、…、Xn+m相互独立且都服从N(0,1)，再根据?2分布的定义以及上述随机变量的相互独立性，令

22+X2++X2，Z=X2+X2 Y=X1n?1n?2+…+Xn?m， 2…n22+X2++X2+ X2+X2 Y+Z= X1n?1n?2+…+Xn?m， 2…n 即可得到Y+Z～?2(n+m)。

2. t分布 若X与Y相互独立，且

X～N(0,1)，Y～?2(n)，则Z =Xn?1?1?(n2)?z2???1??2 。 n??n?n?(2)?Yn 的分布称为自由度等于n的t分布，记作Z ～ t (n)，它的分布密度 P(z)=

请注意：t分布的分布密度也是偶函数，且当n>30时，t分布与标准正态分布N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。这时， t分布的分布函数值查N(0,1)的分布函数值表便可以得到。

3. F分布 若X与Y相互独立，且X～?2(n)，Y～?2(m)，

X 则Z=

nY的分布称为第一自由度等于n、第二自由度等m?nmnn?m??n2m2???1???z2?2???,z?0 p(z)=?n?m?n??m????????(m?nz)2?2??2???0,其他。?于m的F分布，记作Z～F (n, m)，它的分布密度

请注意：F分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度的次序有关，当Z～F (n, m)时，4. t分布与F分布的关系 若X～t(n)，则Y=X～F(1,n)。

证：X～t(n)，X的分布密度

p(x)=

?n?1????2???n?nπ????2?n?1?x2???1??2 。 ??n??21～F (m ,n)。 Z Y=X2的分布函数FY(y) =P{Y

当y?0时，FY(y)=0，pY(y)=0；

当y>0时，FY(y) =P{-y

=??2yyp(x)dx=2?0p(x)dx，

n1?1?n??1n2???2y?2??pY(y)=

1?n?1??n????????2??2?(n?y)22y Y=X的分布密度，

与第一自由度等于1、第二自由度等于n的F分布的分布密度相同，因此Y=X～F(1,n)。

为应用方便起见，以上三个分布的分布函数值都可以从各自的函数值表中查出。但是，解应用问题时，通常是查分位数表。有关分位数的概念如下： 4. 常用分布的分位数 1）分位数的定义

分位数或临界值与随机变量的分布函数有关，根据应用的需要，有三种不同的称呼，即α分位数、上侧α分位数与双侧α分位数，它们的定义如下：

当随机变量X的分布函数为 F(x)，实数α满足0 <α<1 时，α分位数是使P{X< xα}=F(xα)=α的数xα， 上侧α分位数是使P{X >λ}=1-F(λ)=α的数λ， 双侧α分位数是使P{X<λ1}=F(λ1)=α的数λ1、使 P{X>λ2}=1-F(λ2)=α的数λ2。

因为1-F(λ)=α，F(λ)=1-α，所以上侧α分位数λ就是1-α分位数x 1-α；

F(λ1)=α，1-F(λ2)=α，所以双侧α分位数λ1就是α分位数x α，双侧α分位数λ2就是α分位数x α。

2）标准正态分布的α分位数记作uα，α分位数记作u

α，α分位数记作

u α。

当X～N(0,1)时，P{X< uα}=F 0,1(uα)=α， P{X

根据标准正态分布密度曲线的对称性， 当α=时，uα=0； 当α<时，uα<0。 uα=-u 1-α。

如果在标准正态分布的分布函数值表中没有负的分位数，则先查出 u 1-α，然后得到uα=-u 1-α。

论述如下：当X～N(0,1)时，P{X< u α}= F 0,1 (u α)=α， P{X< u 1-α}= F 0,1 (u 1-α)=1-α， P{X> u 1-α}=1- F 0,1 (u 1-α)=α，

故根据标准正态分布密度曲线的对称性，uα=-u 1-α。 例如，u =-u =，

u =-u =，