环境、改进市民出行状况、提高公交公司的经济和社会效益，都具有重要意义。下面考虑一条公交线路上公交车的调度问题，其数据来自我国一座特大城市某条公交线路的客流调查和运营资料。
该条公交线路上行方向共14站，下行方向共13站，第3-4页给出的是典型的一个工作日两个运行方向各站上下车的乘客数量统计(数据从略)。公交公司配给该线路同一型号的大客车，每辆标准载客100 人，据统计客车在该线路上运行的平均速度为20公里/小时。运营调度要求，乘客候车时间一般不要超过10分钟，早高峰时一般不要超过5分钟，车辆满载率不应超过120%，一般也不要低于50%。
试根据这些资料和要求，为该线路设计一个便于操作的全天（工作日）的公交车调度方案，包括两个起点站的发车时刻表；一共需要多少辆车；这个方案以怎样的程度照顾到了乘客和公交公司双方的利益；等等。
如何将这个调度问题抽象成一个明确、完整的数学模型，指出求解模型的方法；根据实际问题的要求，如果要设计更好的调度方案，应如何采集运营数据。 二、问题的假设
公交车运行的平均速度为总路程除以总时间，总时间包括行驶时间和乘客上下车的时间。
到达任一车站的乘客人数在一个小时内服从均匀分布。
每辆车最多可以坐120名乘客，并且乘客对这种情况不会抱怨。 公交公司只有一个车库在上行方向的起始站处，每天早上运营开始前所有车辆均集中在上行方向的始发站，晚上所有车均回到车库。但两个方向的始发站各有一个停车场，以共白天停车使用。 三、符号的说明
P 乘客的满意率 P=
满意的乘客人数
总人数C 满载率 C=次）
总乘客人数 （总车次数指一天发多少班
总车次数?100Zi 第i站全天所经过的车辆数 （i=A0，A1，A2，…，A13） Zi 第i站全天所经过的车辆中满载率小于50%的数目
E 空载率 E=
i?A0A13i?A0?Z?ZA13i
in 公交公司进行一天的运营所需的总车辆数 四、问题的分析和模型的建立
寻找调度方案，首先要找出发车间隔。根据给出的数据，做出每个时间段内始发站上车人数的直方图如下。
40003500300025002000150010005000 （上行方向）
35003000024681012141618202500200015001000500002468101214161820 （下行方向）
从上行方向图中可以看出，一天之内有两个明显的高峰分别是早高峰期6：00--10：00，晚高峰期16：00--19：00；两个高峰的中间10：00--16：00称为中间期；5：00--6：00和19：00--23：00称为低谷期。
同理，得到下行方向早高峰期为7：00--10：00、晚高峰期为15：00--19：00、中间期为10：00-15：00、低谷期为5：00--7：00和19：00--23：00。由于题目中对高峰期和非高峰期乘客等待时间的要求不同，我们将这四个时期的发车间隔取为不同的值，分别记为 t1：早高峰期发车间隔 t2：中间期发车间隔 t3：晚高峰发车间隔 t4：低谷期发车间隔 衡量一个调度方案的好坏，是看该方案是否能使乘客和公交公司双方的利益尽可能达到最大。我们用乘客的满意率来衡量顾客的利益，乘客满意是指乘客的等待时间在早高峰期不超过5分钟，其它时段不超过10分钟；否则，认为乘客不满意。它是t1、t2、t3、t4的函数记为 P=P（t1，t2，t3，t4）。我们用满载率和所需车辆总数来衡量公交公司的利益，C、n 均与发车间隔有关，记为C=C（t1，t2，t3，t4）、 n=n（t1，t2，t3，t4）。 我们的目标为
(1t,t2,t3,t4)max k1?P2?kC(t1t,2t,3t3, 4)knt(t 1,y2,t3,4)s.t． P≥α
C≤120%
k1,k2,k3分别是P、C、n的权值。
α是根据实际情况确定的最小满意度. 五、模型的求解
1、目标函数的三个组成部分是互相矛盾的,必须相互协调。求解时可先不考虑车辆数目，并将乘客满意率限制在一定范围之内，将其作为约束条件，只对第三个指标求最值。根据实际情况和经验，我们选取P≥95%。同时可以发现C与发车间隔的变化趋势相同，即发车间隔越大，平均满载率越高。所以问题变为：
max C(t1,t2,t3,t4)
s.t. P（t1，t2，t3，t4）≥95%
由于在低谷期等车人数很少，不会出现乘客因满载而无法上车的情况，又因为乘客的一般等待时间不能超过十分钟，可令t4=10分钟。 因此，我们只要对t1、t2、t3寻找最优值。 2、算法流程
step1 使得t1、t2、t3在某一范围内变化
step2 模拟一天车辆的运行情况，按照时间间隔t1、t2、t3、t4从上行线站点不断发车。计算车到站时间，按照它所属的时段计算上下车人数，如果所有等车的人都上车，车上会超过120人，则车上人数按120计算，一部分人将继续等候下一辆车。计算在每一站点的车上人数，统计车的总次数。计算在该站点满载率小于50%的车数。求出乘客在每站点的等待时间，判断乘客是否满意，计算满意乘客的人数，并统计所有乘客的人数。
step3 求出乘客满意率，客车满载率和空载率。满意率为所有站点满意乘客的人数除以乘客总人数；满载率为所有站点的车上人数除以总车次数再除100；空载率即为所有满载率小于50%的人数除以总车次数。按照满意率大于95%的指标选择使得t1,t2,t3尽可能大的值。 其余步骤与上行线完全相同。 六、模型的结果与结果分析
在满足一定乘客满意率情况下，分别对上行方向和下行方向使用上面的算法搜索各时期的发车间隔。可以求出在满足顾客满意率大于95%的情况下，上行方向的各时期的最大发车间隔分别为t1=2,t2=7,t3=3,t4=10；下行方向的各时期的最大发车间隔分别为t1=3,t2=8,t3=2,t4=10。
可以证明,在一个足够长的时间内,使用不同的发车间隔,比使用相同的较小时间间隔所需要的总车辆数要多。 证明过程如下:
设两个站点A、B,A站发车间隔为t1，B站发车间隔为t2,不妨设t1 t0t0+,即在t0时间内两边站点都在按间t1t2隔发车。在t0时间之后,从B站发出的车辆到达A站,且每两辆车的到达间隔为t2,为保证A站的车仍旧能按照间隔t1发出,在t0时间内要补发 t0t0-辆车。这时需t1t2要的总车数N1≥ t0t0t0t0++(-)。如果T>3t0,则在A站就会再次补车，这样N1t1t2t1t2＞ tt0t0t0t0)=20。 ++(-t1t2t1t1t2在两边的发车间隔相等时，发车间隔取t1,t2中较小的一个,即t=t1,这时只需 N2>2 t0辆车就可以了。从而证明了我们的结论。分析原因，在总时间足够长时，t1为保证两边都按各自的时间间隔发车，在发车间隔小的站点要不断的补发车，而在发车间隔大的站点会有车堆积，等待的时间较长。因此这种方法所需的车数多，而且车的利用率比较低。 选取上行方向和下行方向对应时间段发车间隔的较小值，即选取 t1=2,t2=7,t3=2,t4=10 在这种情况下，可以减少每时间段内需要的车辆数，使得调度更方便，同时提高了乘客的满意率，只是在车辆的满载率上有所下降。我们认为，对于公交公司来说，减少车辆数意义更大，所以这样的选取是合理的。得到结果如下表 表1 t1 t2 t3 t4 C E P 2min 7min 2min 10min 0.5903 0.1150 0.95 （一）两个始发站发车时刻表 由假设4，上行方向5：00发第1班车，这辆车到达下行方向始发站的时间为5：45，则下行方向始发站在5：45之后有车可供发出，将下行方向发首班车时间定为5：50。当发车间隔不是该时期总时间的约数时,从新的时期开始,以新的间隔发车。由此可得到两边起始站的发车时刻表。 上低谷期 早高峰期 中间期 晚高峰期 低谷期 行5:00-6:00 6:00-10:00 10:00-16:00 16:00-19:00 19:00--23:00 方向 发 车10 2 7 2 10 间隔(分钟) 下低谷期 早高峰期 中间期 晚高峰期 低谷期 行5:00-7:00 7:00-10:00 10:00-15:00 15:00-19:00 19:00--23:00 方向 发 车10 2 7 2 10 间隔(分钟)
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