用完备正交函数集表示信号

用完备正交函数集表示信号

一、正交矢量

在平面空间中,两个矢量正交是指两个矢量相互垂直。如图3-1(a)所示的和是正交的,它们之间的锐夹角为90°。显然,平面空间两个矢量正交的条件是这样,可将一个平面中任意矢量 A ,在直角坐标系中分解为两个正交矢量的集合同理,对一个三维空间中的矢量必须用三维的正交矢量集来表示,如图3-1(b)所示。有

其中,,相互正交。在三维空间中是一个完备的正交矢量集,而二维正交矢量集则在此情况下是不完备的。

依次类推,在n维空间中,只有n个正交矢量,,,…,构成的正交矢量集才是完备的,也就是说,在n维空间中的任一矢量,必须用n维正交矢量集来表示,即虽然n维矢量空间并不存在于客观世界,但是这种概念有许多应用。例如,n个独立变量的一个线性方程,可看做n维坐标系中n个分量组成的矢量。

二、正交函数与正交函数集

正交矢量分解的概念,可推广应用于信号分析,信号常以时间函数来表示,故信号的分解,也就是时间函数的分解。仿照矢量正交概念,也可定义函数的正交。

设和是定义在区间上的两个实变函数(信号),若在区间上有

则称和在内正交。

若,,…,定义在区间上,并且在,内有

则在内称为正交函数集,其中i, r=1,2,…,n;为一正数。

如果

则称为归一化正交函数集。

对于在区间内的复变函数集,若满足

则称此复变函数集为正交复变函数集。其中为的共轭复变函数。

三、完备的正交函数集

如果在正交函数集之外,找不到另外一个非零函数与该函数集中每一个函数都正交,则称该函数集为完备正交函数集。否则为不完备正交函数集。

对于完备正交函数集,有两个重要定理。

定理3-1设在区间内是某一类信号(函数)的完备正交函数集,则这一类信号中的任何一个信号f(t)都可以精确地表示为的线性组合。即

式中,为加权系数,

如何选择各系数C j使f(t)与近似函数之间误差在区间(t1,t2)内为最小。

通常使误差的方均值(称为均方误差)最小。均方误

差为:

C j变化时),有

展开上式中的被积函数,并求导。上式中只有两项不为0,写为:

所以系数:

有

式(3-9)常称正交展开式,有时也称为欧拉傅里叶公式或广义傅里叶级数,称为傅里

叶级数系数。

定理3-2在式(3-9)条件下,有

式(3-11)可以理解为:的能量等于各个分量的能量之和,即反映能量守恒。定理3-2

也称为帕塞瓦尔定理。

例3-1已知余弦函数集{cos t,cos2t,…,cosn t}(n为整数)

(1) 证明该函数集在区间(0,2π)内为正交函数集;

(2) 该函数集在区间(0,2π)内是完备正交函数集吗?

(3) 该函数集在区间(0,) 内是正交函数集吗?

解

(1) 因为当i≠r时

可见该函数集在区间(0,2π)内满足式(3-6),故它在区间(0,2π)内是一个正交函数集。

(2) 因为对于非零函数sin t,有

即sint在区间(0,2π)内与{cos n t}正交。故函数集{cosnt}在区间(0,2π)内不是完

备正交函数集。