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第一讲 一元二次方程的概念及解法
基础知识
一. 一元二次方程的概念
1．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.学习一元二次方程时，首先要清楚一元二次方程是整式方程，如：3x2＋x－1=0,
322x2－x=5, y2＋5y－1=0
41都是一元二次方程，而方程2－3x－5=0不是整式方程，所以也不是一元二次方
x程.
一般形式为ax2＋bx＋c=0 (a≠0)
2．项、项的系数：
与一元一次方程一样，一元二次方程的“项”(如：二次项、一次项、常数项)指的是将方程化成一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0）之后的ax2、bx、c ，而一元二次方程的“项的系数”(二次项系数、一次项系数、常数项)则是指将方程化成一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0）之后的a 、b 、c 。需要注意的是：“项”是连带着字母、字母的指数及系数的整个部分，“项的系数”就只有数而不带字母的； 二. 一元二次方程的解法
1．解一元二次方程的方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.一元二次方程的四种解法是以第一种解法“直接开平方法”为基础的，其他的三种解法都是在此基础上的引申和发展；只要一个一元二次方程有实数解，那么都可以用公式法求出它的解，但不是每个一元二次方程用公式法求解是最好的方法，因此学会观察方程的特点，选择适当的方法可以达到提高运算速度的目的. 2．各种解法分析
（1）直接开平方法解一元二次方程：
直接开平方法解一元二次方程是利用平方根的定义求解一元二次方程的一种方法，它只能解形如x 2＝b（b≥0）的方程。x??b。即是在一般形式中的一次项系数为0的情况，因此说直接开平方法虽然很简单，但是它的适用范围却比较狭窄；
（2）配方法解一元二次方程：
配方法解一元二次方程就是为了解决一次项系数不为0的那些方程的求解问题，它
bc的具体做法是：将方程：ax2?bx?c?0(a?0)的两边同时除以a，得x2?x??0，
aab接着在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方()2，得
2a
1
bb2b2cb2b2?4acx?x?()?2?，即为(x?)?（b2?4ac≥0），最后再利用直接2a2a4aa2a4a2?b?b2?4ac开平方法得到方程的解为：x?。在整个过程中，有两步是要点：⑴ 把
2a二次项系数化为1； ⑵ 在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方；
（3）求根公式解一元二次方程：
配方法解一元二次方程已经能够解决一般形式的一元二次方程的求解问题，但是它的配方过程每一次在做的时候都会觉得比较麻烦，所以把整个配方的过程总结为固定的公式，那就得到了一元二次方程的第三种解法：求根公式法。求根公式法实际
?b?b2?4ac上就是利用求根公式x?（b2?4ac≥0），这种方法比较容易掌握，但
2a使用时必须首先计算b2?4ac的值，当b2?4ac≥0时，是可以用求根公式求出一元二次方程的解的，而当b2?4ac＜0时，方程就没有实数根了（这是因为负数没有平方根）；
（4）因式分解法解某些一元二次方程：
对于那些能够利用十字相乘法将ax2?bx?c?0(a?0)左边因式分解的一元二次方程则可以利用因式分解将方程化成a(x?x1)(x?x2)?0，从而得到方程的解：
x?x1,x?x2；
例题选讲
【例1】把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项.
⑴ (4x－5)(2x＋1)＝x2－3. ⑵ x4－3x2＋6＝(x2－1)2
⑶ (x＋a)(x－b)＋(x＋b)(x－a)＝2a(ax－b)（x为未知数）
2
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【例2】若下列方程是关于x的一元二次方程，求m的取值范围.
⑴(mx)2?(m?2)x?m?3?0 ⑵
m2x?5x?3?0 m?2
【例3】m为何值时，方程(m－1)x2m－1＋2mx－5＝0是关于x的一元二次方程？
【例4】用直接开平方法解下列方程：
⑴ x2－12＝0 ⑵ (4y＋1)2＝2
12⑶ 2(x－1)2－＝
23
【例5】用配方法解下列方程.
⑴ x2－6＝6x； ⑵ 2x2＋5x－1＝0；
⑶ ax2＋bx＋c＝0（a≠0）；
【例6】用公式法解下列方程.
⑴ x2＋4＝6x
⑵ x2－a(3x－2a＋b)－b2＝0
【例7】用因式分解法解下列方程.
⑴ x2－5x＋6＝0 ⑵3y2＝2y
11(2y－1)2＝(2y－1) ⑷ 2(x－5)2－5(x－5)－12＝0 43⑸ abx2－(a2＋b2)x－(a2－b2)＝0（a、b≠0） ⑶
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