第二讲 一元二次方程的根的判别式
基础知识
一．理解一元二次方程的根的判别式，并能用判别式判定根的情况；
方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）中，式子b2－4ac叫做此一元二次方程的根的判别式，通常用符号“△”表示。
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）：
当△＝b2－4ac＞0时，有两个不相等的实数根，反过来亦成立； 当△＝b2－4ac＝0时，有两个相等的实数根，反过来亦成立； 当△＝b2－4ac＜0时，没有实数根，反过来亦成立． 二．一元二次方程的根的判别式的题型通常有这样几种： 1． 已知方程判别这个方程的根的情况；
例如：试判断方程3x2－4x－5＝0的实数根的情况； 解：∵ a＝3，b＝－4，c＝－5，
∴ △＝b2－4ac＝(－4)2－4×3×(－5)＝16＋60＝76＞0, ∴ 方程有两个不相等的实数根；
2．已知一个方程的实数根的情况求这个方程中的系数中的字母的取值范围；
例如：实数m取什么值时，方程3x２－2(3m－1)x＋3m２－1＝0 ① 有两个不相等的实数
根？ ② 有两个相等的实数根？ ③ 没有实数根? 解：∵ △＝［－2(3m－1)］２－4·3·(3m２－1)＝－24m＋16
2∴ 当－24m＋16＞0，即m＜时，方程有两个不相等的实数根；
32 当－24m＋16＝0，即m＝时，方程有两个相等的实数根；
32当－24m＋16＜0，即m＞时，方程没有实数根．
33．关于一元二次方程的实数根的证明题；
m例如：求证：方程x２－(m＋1)x＋＝0必有两个不相等的实数根．
2m证明：∵△＝［－(m＋1)］２－4·＝m２＋1
2又∵ m２≥0，∴ m２＋1≥1＞0，即△＞0 ∵ △＞0，
∴ 方程必有两个不相等实数根.
例题选讲
【例1】不解方程，判断下列方程根的情况．
(1)(4x－5)(2x＋1)＝x2－3 (2)
323 x－x＋1＝0 (3) 2x2－3mx＋4m2＝0 22
【例2】判别关于x的方程(m＋1)x2－4mx＋4m－1＝0的根的情况．
6
、
【例3】 已知方程x２－(3－a)x－(3a＋b２)＝0有两个相等的实数根，求实数a与b的值．
【例4】当m为何值时，关于x的二次三项式x２＋2(m－4)x＋m２＋6m＋2是完全平方式?
【例5】已知a、b、c是△ABC的三边，且方程b(x２－1)－2ax＋c(x２＋1)＝0有两个相
等的实数根，试判断△ABC的形状．
练 习 反 馈
一、选择题
1．若关于x的一元二次方程2x(mx－4)－x２＋6＝0没有实数根，则m的最小整数值是( )
(A)－1 (B)2 (C)3 (D)4
2．已知方程x２－px＋m＝0(m≠0)有两个相等的实数根，则方程x２＋px－m＝0的根的情况是
(A)有两个不相等的实数根 (B)有两个相等的实数根 (C)没有实数根 (D)不能确定有无实数根
13．在下面三个方程中: ①2x２－mx－1＝0；②x２－2mx＋2m２＝0;③4x２＋(m－1)x－m
2＝0．无论m取任何实数根都永远有两个实数根的方程的个数是 ( )
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 二、填空题
4．不解方程,判断4x２－43x＋3＝0的根的情况是______________________.
7
２
5．不解方程,判断y－（6＋2）y＋2＋3＝0的根的情况是___________________
6.不解方程,判断3x2－6x－2x＋2＝0的根的情况是 . 7.当m______时,方程3ｘ２－2（3m＋１）x＋３m２＋1＝０没有实数根． 8.当m_____ 时，方程(m－1)x2＋2(m－7)x＋2m＋2＝0有两个相等的实数根.
9.若关于x的一元二次方程2kx2＋(8k＋1)x＝－8k有两个实数根，则k的取值范围是________ 三、解答题
10．m为何值时，方程mx2－3x＋2＝0没有实数根．
11．试判别一元二次方程x2＋2x＋m＝0的根的情况．
12．求证：对于任何实数m，关于x的二次方程x2－(m＋1)x＋(m－1)＝0总有两个不相
等的实数根．
13．已知a、b、c是△ABC的三边，且一元二次方程(c－b)x2＋2(b－a)x＋(a－b)＝0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．
14．若a、b、c均为实数，试证明方程(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)＋(x－a)(x－b)＝0一定有实数根．
第三讲 一元二次方程的根与系数的关系
基础知识
?b?b2?4ac一．由方程 ax＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式 x1,2＝ (b2－4ac≥0)
2a2
8
、
不难得到 x1＋x2＝－bc , x1·x2＝ . 这就是一元二次方程的根与系数关系(也称韦aa达定理).
注：在学习和应用上述定理时要注意以下几点:
① 一元二次方程根与系数的关系揭示了一元二次方程的实根与系数之间的内在联系，在运用时需先将一元二次方程化为标准形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)； ② 运用韦达定理的前提是方程有实数根；
③ 韦达定理不仅可求出方程两实根的和与积,而且可判断两实数根的符号(如两正根；两负根；一正根一负根等)；
b④ 要防止出现x1＋x2＝这样的错误.
a二．掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用它解决下列一些问题： 1． 已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数；
例如：如果2＋3是方程x2－4x＋c＝0的一个根,不解方程,求方程的另一个根及c的值.
解：设方程的另一个根为x1,根据根与系数关系,得
??x1?(2?3)?4 ???x1?(2?3)?c解之得x1＝2－3,则c＝(2－3)(2＋3)＝1
∴ 方程的另一个根及c的值分别为2－3和1. 2． 会求一元二次方程的有关两根的代数式的值；
例如：设x1、x2是方程2x2＋3x－1＝0的两根,不解方程,求解：∵ x1、x2是方程2x2＋3x－1＝0的两根,
31∴ x1＋x2＝－, x1·x2＝－.
222x2x1x2?x2?x12?x1?则 ＝ x1?1x2?1(x1?1)(x2?1)x2x1?的值. x1?1x2?1313(?)2?2(?)?(?)(x?x2)?2x1x2?(x1?x2)22＝－7 ＝1＝2134x1x2?(x1?x2)?1??(?)?1223．求作一个方程，使它的两根为已知两数，或为已知方程各根的倍数、相反数、负倒数等；
例如：已知方程3x2－2x－4＝0,不解方程，求作一个一元二次方程,使它的一根为
原方程两根和的倒数,另一根为原方程两根差的平方. 解：设原方程的两根为x1、x2 .
2 9
24则：x1＋x2＝，x1·x2 ＝－. (这是原方程根与系数的关系)
33设所求的方程为y2＋py＋q ＝ 0，它的两根为y1、y2。 则p＝－(y1＋y2)，q＝y1·y2 . (设所求方程的二次项系数为1，是为了简化运
算)
由已知,y1＝
13＝ x1?x2252(这是解决问题的关键，用它沟9通了所求方程的根与原方程根之间的联系.)
352131则 p＝－(y1＋y2)＝－(＋ )＝－,
218935226 q＝ y1y2＝·＝,
29326131∴ 所求的方程为y2－y＋＝0.
1832
即 18y－131y＋156＝0.
4． 已知方程两根代数式的值，或两根的关系，求方程的未知系数等等。 例如：已知关于x的方程x2＋(P－1)x＋P＝0的两实根的平方和等于6，求P的值. 解：设方程的两根为x1、x2.
则：x1＋x2＝1－P，x1x2＝P. 又 ∵ x12＋x22＝6 即 (x1＋x2)2－2x1x2＝6 ∴ (1－P)2－2P＝6 ∴ P2－2P＋1－2P＝6 ∴ P2－4P－5＝0 ∴ P1＝5，P2＝－1.
当P＝5时，原方程为x2＋4x＋5＝0，△＝16－20＜0. ∴ 方程无实数根， ∴ 舍去．
当P＝－1时，方程为x2－2x－1＝0，△＞0． 答：当P＝－1时，满足题意．
y2＝(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝
例题选讲
【例1】 已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)中，b＞0,c＜0,则( ).
(A)方程有两个正根 (B)方程有两个负根
(C)方程的两根异号,且正根的绝对值较大 (D)方程的两根异号,且负根的绝对值较大
【例2】 如果2＋3是方程x2－4x＋c＝0的一个根,不解方程,求方程的另一个根及c的值.
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