、
【例3】设x1、x2是方程2x2＋3x－1＝0的两根,不解方程,求
x2x1?的值. x1?1x2?1
【例4】k为何值时,方程x2－(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根,且两根互为倒数.
【例5】已知a、b是方程8x2＋6mx＋2m＋1＝0的两个实数根,且a2＋b2＝1,求m的值.
【例6】已知a2＋a－1＝0,b2＋b－1＝0(a≠b). 求a2b＋ab2的值.
【例7】已知方程3x2－2x－4＝0,不解方程，求作一个一元二次方程,使它的一根为原方程两根和的倒数,另一根为原方程两根差的平方.
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一、选择题
1．如果方程2x2＋kx－6＝0一个根是－3，另一根是x,则（ ）
(A)x1＝1,k＝4 (B)x1＝－1,k＝8 (C)x2＝2,k＝1 (D)x2＝－2,k＝5
11
352.以 和?为根的一元二次方程是（ ）
53(A)15x2＋16x－1＝0 (B) 15x2－16x＋15＝0 (C)15x2＋16x－15＝0 (D) 15x2－16x－15＝0
553.已知一元二次方程的两根之和是，两根的倒数和是?，这个一元二次方程是 ( )
235535 (A）x2－x－＝0 (B) x2－x－＝0
22235535 (C) x2＋x＋＝0 (D) x2＋x－＝0
222334.不解方程，判断x2＋3x＋1＝0根的情况是（ ）
4 （A）有一正根一负根 （B）有两个正根 （C）有两个负根 （D）没有实数根
5．一元二次方程x2－x＋1＝0的根的情况是（ ） (A)两实数根的和等于两实数根的积
(B)两实数根的和与两实数根的积互为相反数 (C)有两个相等的实数根 (D)没有实数根
6．若方程x2－(k2－7)x＝1的两根之和是2，则实数k的值是（ ） （A）±5 (B)±6 (C) ±3 (D) ±2 二、填空题
7.已知一元二次方程x2－3x＋1＝0的两根为x1、x2,则＝ , (x1－5)·(x2－5)＝ .
8.以2＋3、2－3为两根的一元二次方程是 .
9.已知关于x的方程6x2＋2x＋a＝0的一根比另一根大2,则a＝ .
10.已知关于x的方程4x2－9x＋3(k－1)＝0,当k 时,方程有一根为零,当k 时,方程的两实数根互为倒数. 三、解答题
2911．已知方程2x2＋kx－2k＋1＝0的两实数根的平方和为，求k的值.
4
12．已知方程2x2－6x－1＝0的两根为α、β，不解方程，求作一个一元二次方程，使它
11＋＝ ，x12＋ x22x1x2 12
、
的两根分别为和
????.
3，两条直角边的长分别是方程2x2－22mx＋m＋3＝0的两根，求m的值和直角三角形ABC的面积. 13．已知直角三角形ABC中，斜边上的中线长为
第四讲 一元二次方程的应用
基础知识
一. 一元二次方程与二次三项式的关系。一元二次方程与二次三项式既有区别也有联系，方程两边可以除以系数中的公因数或二次项系数，而二次三项式则不能。如分解二
次三项式3x2?3x?3，利用求根公式解方程3x2?3x?3?0求出两根，x1?1?5，2 13
x2?1?5。解方程时方程两边可以同除以3再求根，而二次三项式则不能化简为2x2?x?1。因此分解的结果中不能丢掉二次项系数a，分解结果应为3(x?1?51?5)(x?)如果丢掉系数3，就使二次三项式的值改变了。另外注意分解结221?51?5)(x?)。 22果的符号，结果不能写成3(x? 二. 用列一元二次方程的方法解有关数与数之间关系的应用题、有关面积和体积方面
的应用问题以及有关增长率问题。
三. 根据题意找出题目中的等量关系。列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题类似，关键是弄清题目中的基本数量关系，找出能够表示应用题全部含义的两个相等关系，根据这两个相等关系列出需要的代数式，从而列出方程。
例题选讲
【例1】在实数范围内分解因式：
（1）x2?22x?3； （2）?4x2?8x?1.
【例2】把2x2?4xy?5y2分解因式.
【例3】 当k取何值时，二次三项式3x2?4x?2k（1）在实数范围内能分解？（2）不能分解？（3）能分解成一个完全平方式？这个完全平方式是什么？
【例4】 把4x2?12x?3分解因式
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、
【例5】 一个三位数、十位数字比百位数字大3，个位数字等于百位数字与十位数字的和.已知这个三位数比个位数字的平方的5倍大12，求这个三位数.
【例6】 某公司八月份售出电脑200台，十月份售出242台，这两个月平均每有增长的百分率是多少？
【例7】 学校要把校园内一块长50米，宽40米的长方形空地进行绿化.计划中间种花，
3四周留出宽度相同的地种草坪，且花坛面积占整个绿化地面积的，求草坪的宽度.
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一、选择题
?7?65?7?65y)(x?y)是以下那个多项式分解因式形成的（ ） 441． 2(x?A．2x2?7xy?2y2 B．2x2?7xy?3y2 C．3x2?7xy?y2 D．2x2?7xy?2y2
2．在实数范围内分解因式1?4x?x2，正确的结果是（ ）
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