24．解：（1）①如图1中，作AK⊥CD交CD的延长线于K．
∵CD⊥BM，AK⊥CK，∠ACB＝90°，
∴∠CHB＝∠K＝90°，∠CBH+∠BCH＝90°，∠BCH+∠ACK＝90°，∴∠CBH＝∠ACK， ∵CB＝CA，
∴△CHB≌△AKC（AAS）， ∴AK＝CH，
∵∠CHM＝∠K＝90°， ∴MH∥AK， ∵AM＝BM，
- 29 -
∴CH＝KH， ∴AK＝KH， ∵∠K＝90°， ∴∠AHD＝45°．
②如图2中，作AK⊥CD交CD的延长线于K，作CM⊥AB于M．设
∵CA＝CB，∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝45°，
∵∠AHD＝45°，∠AHD＝∠ACH+∠CAH， ∴∠ACH+∠CAH＝∠CAH+∠DAH， ∴∠DAH＝∠ACD， ∵∠ADH＝∠CAD， ∴△ADH∽△CDA， ∴＝， ∴
＝
，
∴AD＝a，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，CM⊥AB， ∴AM＝BM，
∴CM＝AM＝BM，设AM＝CM＝BM＝x，
DH＝CH＝a．
- 30 -
在Rt△CMD中，∵CM2＝DM2+CD2
， ∴x2
+（x﹣a）2＝4a2，
解得x＝
a（负根已经舍弃）．
∴BD＝AB﹣AD＝（+
）a﹣
a＝a，
∴
＝
＝
．
∵△ADH∽△CDA， ∴
＝
＝
，设AH＝m，则AC＝m，AK＝KH＝m，
∴tan∠ACK＝
＝，
∴∠ACH＝30°，
∴∠CAH＝∠AHD﹣∠ACH＝45°﹣30°＝15°．
（2）作AJ⊥BM交BM的延长线于J．设AM＝CM＝y，则BC＝2yn．
∵CH⊥BM，BM＝＝＝?y，
∴CH＝＝
＝?y，
∴HM＝
＝
?y，
∵AJ⊥BJ，CH⊥BJ， ∴∠J＝∠CHM＝90°， ∵∠AMJ＝∠CMH，AM＝CM，
- 31 -
∴△AMJ≌△CMH（AAS）， ∴AJ＝CH＝
?y，HM＝JM＝
?y，
∵∠BHQ＝∠AHJ，
∴tan∠BHQ＝tan∠AHJ＝＝＝n．
25．解：（1）如图①，过点B作BE⊥OA于点E．
在13点时，∠BOA＝30°， ∴BE＝OB＝4（cm），
∴S△OAB＝OA?BE＝×6×4＝12（cm）；
（2）如图②，过点B作BE⊥DA于点E．
2
在14点时，∠BOA＝60°，∴S△OAB＝×4∵12
＞12，
×6＝12
＝sin60°，BE＝8×
2
＝4（cm），
（cm）．
∴14点时比13点时△OAB的面积增大了；
（3）3点时（即15时）或9点时（即21时）时△OAB的面积最大，如图③④．
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