>.
二、填空题 <共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）
6．若关于 x 的方程
2
2)(x 4x m) 0 有三个根，且这三个根恰好可 ( x
以作为一个三角形的三条边的长，则
m 的取值范围是.
7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是
4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是
1，2，2，3，3，
1， 3， 4， 5， 6， 8.
同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数的概率
是.
NW2GT2oy01
8．如图，点 A， B 为直线 y x 上的两点，过 A，B 两点分别作 y 轴的平行
1
< x＞0 ）于 C，D 两点 . 若
2AC ，则 4OC
2
线交双曲线 y BD
OD 的值
2
x
NW2GT2oy01
为.
<第 8题）
9 ． 若
<第 10 题）
y
1 x
x 1 的最大值为
a，最小值为 b，则 a2 b2 的值为
.
10．如图，在
Rt△ ABC 中，斜边 AB 的长为 35，正方形 CDEF
内接于△
ABC，且其边长为 12，则△ ABC 的周长为
.
NW2GT2oy01
三、解答题 <共 4 题，每题 20 分，共 80 分）
11．已知关于
x 的一元二次方
x2
cx a 0 的两个整数根恰好比方程
程
x2
ax b
0 的两个根都大 1，求 a b c 的值 .
12．如图，点 H 为△ ABC 的垂心，以
AB 为直径的⊙ O1 和△ BCH 的外接圆
⊙ O2 相交于点 D ，延长 AD 交 CH 于点 P ，求证：点 P
为 CH 的中点 .
<第 12 题）
A， B 两点关于 x 轴对称，过点 A 13．如图，点 A 为 y 轴正半轴上一点， 任
2x 于 P ， Q 两点 . 作直线交抛物线 y 2
3
<1）求证：∠ ABP =∠ ABQ ；
<2）若点 A 的坐标为 <0， 1），且∠ PBQ =60o，试求所有满足条件的直线
PQ 的函数解读式 .
14．如图，△ABC 中， 2AC．点
3， PB 5， PC
BAC
内
60 ， ， 且
<第 13 题）
AB
PA
P在△ABC
2 ，求△ ABC 的面积．
中国教育学会中学数学教学专业
<第 14 题）
委员会
“《数学周报》杯”
2018 年全国初中数学竞赛试题参考答
2
案
2
一、选择题 1．A
解：由于 a
3a
3
7 1 ， a 1
6a 12 3a 6
7 ， a
2a
6 2a ， 所以
12a
（
2
）
12 6 2a
（ ）
6a 12
2．B
6a12a 60 （ ） 6 6 2a 12a 60
24.
ux vy
u
解：依定义的运算法则，有
u， v 都成立 .
， u(x 1) vy
，
即
，
0
对任何实数
由于实数 u， v 的任意性，得
vx uy v
v(x 1) uy 0
< x，y ）=<1， 0）．
3．C
解：由题设可知 y
x
y 1
，于是
x yx
3 y
x 4 y 1 ，
所以 故
4y 1 1 ，
1 2
，从而 x 4 ．于是 x
y
y
9
．
2
4． C
解：如图，连接DE ，设SDEFS1
S1 S2 S1 S3
EF BF
S4， 则 ，所以
，从而有 S1 S3
S2 S4 ．由于 S1 S1
S3
S2S4 ．
<第 4题）
5． A
解：当 k 2，3， ，99 时，由于
1 k
3
1 k k
2
1 1
1
1
2 k 1 k k k 1 1 1 1
，
所以
1 S 1
1 1 332 3
1
399
1 100
5 . 4
2 2 99
于是有 4 4S 5 ，故 4S 的整数部分等于 4． 二、填空题 6．3＜m≤4 解：易知 x
2 是方程的一个根，设方程的另外两个根为
， ，则 x1 x2
x1 x2
4 ， x1x2 m ．显然 x1
2
x2
4 2 ，所以
x1 x2
2，
16 4m ≥0，
即
x1 x2
4x1 x2 2 ，
16 4m ≥0，所以
2 4m ，
16
16
4m ≥0，
解之得 3＜ m≤ 4.
7．
1
9
4 对： <1，4）， <2，3）， <2， 解： 在 36 对可能出现的结果中，有 3），
4<4，1）的和为 5，所以朝上的面两数字之和为 5 的概率是 1 . NW2GT2oy01
36 9 8． 6
解：如图，设点 C 的坐标为（a，b），点 D 的坐标为（c，d）,
则点 A 的坐标为（ a，a），点 B 的坐标为（ c， c）. 由于点 C，D
1
在双曲线 y 上，所以 ab 1， cd 1 ．
x
由于 AC
a
b， BD
c d ， 又由于 BD
2
2 AC，于
2
<第8题）
是
2
c d
2
2 a b ， 2c
（4 a
2
22cd
22
d
（4a 2ab b），
6，
所以 即4OC
2
b）（ c d ） 8ab 2cd
OD
6.
9．
3
2 11解：由1 x ≥0，且 x ≥0，得 ≤ x ≤ 1．
2 2
y
2
1
2
2
x
2
2
3 x 1 1 ( x 2 2 2
3) 2 1 ． 4
16
< 1 ，所以当 x 32
由于 < 3 时， y 取到最大值 1，故 a = 1 ． =
2 4 4
11 或 1 时， y 取到最小值 ，故 b = 2 ．
2
21
当 x =
2
2
2
2
所以， a
b
3 ．
2
10． 84
解：如图，设 BC＝a，AC＝b，则
235 ＝ 22
b 1225． ① a
F 又 Rt △ AFE ∽ Rt △ ACB ， 所 以
AF，即
E
1 2 b a
b
1 2
C B
A C
<第 10 题）
，故
12( a b) ab ．
②
由①②得
2
2
2
（ a b） a
b
2ab 1225 24（ a b），
解得 a＋b＝49<另一个解－ 25 舍去），所以
a b c
49 35
84 ．
三、解答题
11． 解：设方程
x
2
2
ax b
0 的两个根为 ，
1，
，其中 ， 为整数，且
≤
，则方程 x
cx a 0 的两根为
1，由题意得
a，
2
(
2 2
1
2
1
1
a ，
0
两式相加得 即
，
2)(
，
2) 3 ，
2 2
所以
1
1
5
； 3
或
3
，
1.
，
，
解得
； 或 1
3.
又由于 a （
），b
， c （[ 1）（ 1）]， 所以
a 0，b
8， b ，1 3 ，或 29.
1， c 2 ， 5 c
； 或 者
a
故 a b c
12． 证明： 如图，延长 AP 交⊙ O2 于点 Q ，
连接 AH ，BD，QB，QC ，QH .
由于 AB 为⊙ O1 的直径，
所以∠ ADB
∠ BDQ 90°，
故 BQ为⊙ O2的直径.
<第 12 题）
于是 CQ BC，BH HQ .
又由于点 H 为△ ABC 的垂心，所以 AH
BC，BH AC .
所以 AH ∥ CQ ， AC ∥ HQ ，四边形 ACQH 为平行四边形 .
所以点 P为CH 的中点.
13． 解： <1）如图，分别过点 P， Q 作 y 轴的垂线，垂足分别为 C， D .
设点 A 的坐标为 <0， t ），则点 B 的坐标为 <0， -
t ） .
设直线 PQ 的函数解读式为 y kx t , 并设 P， Q 的坐
标分别为 （ xP， yP）,（ xQ， yQ）. 由
y kx t， y
2 x2， 3
得
2 x2 3 2
kx t
0 ，
<第 13 题）
3
于是
xP xQ
t ，即
于是
BC
t 2
BD
yP yQ
t t
又由于
PC
QD
xP xQ
，所以 2 2 3 xP 2 2 3 xQ
BC
xP xQ . 3
2 2
t 3 xP
2 2
t 3 xQ PC .
2 x x
3 P Q
2 xx
3
P Q
( 2 x x x ) 3 P P Q
2 x( x3 Q Q xP )
xP
. xQ
BD QD
由于∠ BCP
∠ BDQ 90 ，所以△ BCP ∽△ BDQ ，
故∠ ABP=∠ ABQ .
<2）解法一 设 PC
a ， DQ b ，不妨设 a ≥ b >0，由 <1）可知
30 ， BC = 3a ， BD = 3b ，
3b .
∠ ABP =∠ ABQ
所以
AC = 3a 2 ， AD =2
由于 PC ∥ DQ ，所以△ ACP ∽△ ADQ .
于是 PC
DQ
AC ，即 a AD
3a 2 ，
3b
b 2
所以 a b
3ab ．
3， t ，
3ab
由<1）中 xP xQ
3 即 2 2b
23.
2
，所以 ab
a 2
b
2
3 3 ， 2
于是可求得 a
3
将 b
代入 y
x ，得到点 Q 的坐标 < ，）.
31
2
3 2
2
再将点 Q 的坐标代入 y kx 1 ，求得 k
3 .
3
所以直线 PQ 的函数解读式为 y
3
x
1 .
3
根据对称性知，所求直线 PQ 的函数解读式为 y
3
1 ，或 yx 1.
x
3 3
3
t , 其中 t
解法二 设直线 PQ 的函数解读式为 y 由<1）可知，∠ ABP =∠ ABQ 故 将 yQ
kx
1.
2DQ .
30 ，所以 BQ
2xQ
xQ
2
2
( yQ 1) .
2
23
xQ 代入上式，平方并整理得
4
2
2Q
4xQ 15x3
9 0 ，即
2
(4xQ
3)(xQ 3) 0 .
所以 xQ
或 3.
2
又由 (1> 得 xP
xQ
3 t 2
3 ， xP xQ k .
2
3
2
P
3 若 xQ
，代入上式得x
3，从而
k
2
32 3 2
( xP xQ )
3 .
3
， 从而
同理，若 xQ
3，可得 xP
k
( xP xQ )
3 .
2
3
y
3
3
所以，直线 PQ 的函数解读式为
x 1 ，或 y
3 3
x 1 .
3
14． 解：如图，作△ ABQ，使得
QAB PAC， ABQ
ACP，则△ ABQ∽△ ACP .
由于 AB 2 AC ，所以相似比为 2.
于是
AQ QAB
2AP
BAP
2 3，BQ
PAC
2CP 4 ． BAP
3AP 90 ．
2
<第 14 题）
QAP BAC 3 ．
60 .
由AQ:AP
所以 BP于是
2
2:1 知， APQ 90
25 BQ
2
2
，于是 PQ
PQ ，从而 BQP
AB
1
2PQ
2
( AP BQ) 3AB2 6 8
28 8 3 . 7 3 ． 2
故S
ABC
AB AC sin 60
2
申明：
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途。
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