三年高考(2015-2017)高考数学试题分项版解析 专题06 导数与函数的零点等综合问题 文

专题06 导数与函数的零点等综合问题

321.【2014全国1，文12】已知函数f(x)?ax?3x?1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0?0，

则的取值范围是( )

?2,??? （B）?1,??? （C）???,?2? （D）???,?1?

【答案】C

2f'(x)?3ax2?6x?3x(ax?2)，利用导数的正负与函数单调性的关系可得：x?(??,)和

a2x?(0,??)时函数单调递减;x?(，0)时函数单调递增，欲要使得函数有唯一的零点且为正，

a?222a?()3?3()2?1?0?f()?0(舍去）,a?2?．则满足：，即得：，可解得：则a?2 a2?4，?aaa??f(0)?0考点：1.函数的零点;2.导数在函数性质中的运用;3.分类讨论的运用

【名师点睛】本题主要是考查函数的零点、导数在函数性质中的运用和分类讨论思想的运用，在研究函数的性质时要结合函数的单调性、奇偶性、零点、以及极值等函数的特征去研究，本题考查了考生的数形结合能力.

2.【2014高考广东卷.文21】(本小题满分14分)已知函数f?x??(1)求函数f?x?的单调区间；

(2)当a?0时,试讨论是否存在x0??0,?【答案】(1)详见解析；(2)详见解析.

2【解析】(1)f??x??x?2x?a,方程x?2x?a?0的判别式为??4?4a,

13x?x2?ax?1?a?R?. 3??1??1??1??,1?,使得f?x0??f??. 2??2??2?2①当a?1时,??0,则f??x??0,此时f?x?在R上是增函数；

2②当a?1时,方程x?2x?a?0的两根分别为x1??1?1?a,x2??1?1?a, 2解不等式x?2x?a?0,解得x??1?1?a或x??1?1?a,

解不等式x2?2x?a?0,解得?1?1?a?x??1?1?a, 此时,函数f?x?的单调递增区间为??,?1?1?a和?1?1?a,??, 单调递减区间为?1?1?a,?1?1?a；

综上所述,当a?1时,函数f?x?的单调递增区间为???,???,

当a?1时,函数f?x?的单调递增区间为??,?1?1?a和?1?1?a,??, 单调递减区间为?1?1?a,?1?1?a；

321??1??1?1??1?132(2)f?x0??f???x0?x0?ax0?1?????????a??1?

3?2??2?3??2??2??????????????1?3?1???x0???3??2??3??2?1?2?1?????x0?????a?x0??

2??2????????1?1??2x01??1??1?1????x0???x0?????x0???x0???a?x0?? 3?2??24??2??2?2??2?x011??x01???x0??????x0??a?

2??36122???1?1?2x??0??4x0?14x0?7?12a?, 12?2???1??1??1?fx?f,1,使得??0????,

2??2??2???1??1??,1?上有解, 2??2?若存在x0??0,?2必须4x0?14x0?7?12a?0在?0,?a?0,???142?16?7?12a??4?42?48a??0,

方

程

的

两

根

为

??x1?1?8?a4????4a2?14?221?248a?7?211?48a???,x2,

844 2

??x0?0,?x0?x2?7?21?48a,

4依题意,0??7?21?48a?1,即7?21?48a?11,

4?49?21?48a?121,即?257?a??, 1212又由?7?21?48a15?得a??,

424故欲使满足题意的x0存在,则a??5, 4所以,当a???7??255??5?1??1?,????,??时,存在唯一x0??0,??,1?满足?124??412??2??2?f?0x?????1??f?, ?2?25??12??5??7??1??1??1???,0fx?fx?0,,1时,不存在满足?????00???????. 41222?????2?????当a????,?【考点定位】本题以三次函数为考查形式,考查利用导数求函数的单调区间,从中渗透了利用分类讨论的思想处理含参函数的单调区间问题,并考查了利用作差法求解不等式的问题,综合性强,属于难题.

【名师点晴】本题主要考查的是函数的单调区间和函数与方程，属于难题．解题时一定要抓住重要字眼“单调区间”，否则很容易出现错误．利用导数求函数f?x?的单调区间的步骤：①确定函数f?x?的定义域；②对f?x?求导；③令f??x??0，解不等式得的范围就是递增区间，令f??x??0，解不等式得的范围就是递减区间．

3.【2016高考新课标1文数】（本小题满分12分）已知函数f?x???x?2?ex?a?x?1?． (I)讨论f?x?的单调性；

(II)若f?x?有两个零点,求a的取值范围. 【答案】见解析(II)?0,??? 【解析】

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试题分析：(I)先求得f'?x???x?1?ex?2a.再根据1,0,2a的大小进行分类确定f?x?的单调性；(II)借助第一问的结论,通过分类讨论函数单调性,确定零点个数,从而可得a的取值范围为?0,???.

试题解析： (I)f'?x???x?1?ex?2a?x?1???x?1?ex?2a.

(i)设a?0,则当x????,1?时,f'?x??0；当x??1,???时,f'?x??0. 所以在???,1?单调递减,在?1,???单调递增.

????

当x?ln??2a?,1时,f'?x??0,所以f?x?在??,ln??2a?,?1,???单调递增,在

?????ln??2a?,1?单调递减.

③若a??e,则ln??2a??1,故当x????,1?2?a?2??,??l?n时,f'?x??0,当

x??1,ln??2a??时,f'?x??0,所以f?x?在???,1?,?ln??2a?,???单调递增,在

?1,ln??2a??单调递减.

(II)(i)设a?0,则由(I)知,f?x?在???,1?单调递减,在?1,???单调递增. 又f?1???e，f?2??a,取b满足b<0且则f?b??ba?ln, 22a2?33?b?2?ab?1?a?????b?b??0,所以f?x?有两个零点. 22??x(ii)设a=0,则f?x???x?2?e所以f?x?有一个零点. (iii)设a<0,若a??e,则由(I)知,f?x?在?1,???单调递增. 2e,则由(I)知,f?x?在2又当x?1时,f?x?<0,故f?x?不存在两个零点；若a???1,ln??2a??单调递减,在?ln??2a?,???单调递增.又当x?1时f?x?<0,故f?x?不存在两

个零点.

综上,a的取值范围为?0,???.

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