专题19 与圆有关的角
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与圆有关的角主要有圆心角、圆周角、弦切角.特别的，直径所对的圆周角是直角.圆内接四边形提供相等的角、互补的角，在理解与圆有关的角的概念时，要注意角的顶点与圆的位置关系、角的两边与圆的位置关系.
角在解题中经常发挥重要的作用，是证明角平分线、两线平行、两线垂直，判定全等三角形、相似三角形的主要条件，而圆的特点又使角的互相转化具备了灵活多变的优越条件，是解题中最活跃的元素.
熟悉以下基本图形和以上基本结论.
例题与求解
【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，则△CDE的面积为___________. （海南省竞赛题）
AOADBODC
BEC
M 例1题图 例2题图
解题思路：作DF⊥BC于F，需求出CE，DF的长.由AB为⊙O的直径作出相关辅助线.
?的中点，AM交BC于点D，若AD＝3，DM＝1，则MB的长是【例2】如图，△ABC内接于⊙O，M是BC（ ）
A．4 B．2 C．3 D．3
解题思路：图中隐含许多相等的角，利用比例线段计算.
【例3】如图1，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC＝45°，等腰直角三角形DCE中， ∠DCE是直角，点D在线段AC上. (1) 证明：B，C，E三点共线；
(2) 若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN＝2OM；
(3) 将△DCE绕点C逆时针旋转α(0°＜α＜90°)后，记为△D1CE1(如图2).若M1是线段BE1的中点，
N1是线段AD1的中点，M1N1＝2OM1是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由.
解题思路：对于(2)，充分利用条件中的多个中点，探寻线段之间的数量关系与位置关系.
DANOMB
【例4】如图所示，ABCD为⊙O的内接四边形，E是BD上的一点， ∠BAE＝∠DAC. 求证：(1)△ABE∽△ACD；
(2) AB·DC＋AD·BC＝AC·BD. （陕西省竞赛试题） 解题思路：由(1)可类比猜想，为(2)非常规问题的证明铺平道路.
图1
AADECB图2
CEOE1CN1OM1D1B
【例5】如图1，已知⊙M与轴交于点A，D，与y轴正半轴交于点B，C是⊙M上一点，且A（－2,0），
B（0，4），AB＝BC.
(1) 求圆心M的坐标； (2) 求四边形ABCD的面积；
(3) 如图2，过C点作弦CF交BD于点E，当BC＝BE时，求CF的长.
解题思路：作出基本辅助线（如连接BM或AC），这是解(1)、(2)的基础；对于(3)，由BC＝BE，得∠
BEC＝∠BCE，连接AC，将与圆无关的∠BEC转化为与圆有关角，导出CF平分∠ACD，这是解题的关键.
yBAOyCBDxAOMFCEMDx
【例6】如图，AB，AC，AD是⊙O中的三条弦，点E在AD上，且AB＝AC＝AE. 求证：(1) ∠CAD＝2∠DBE；
(2) AD－AB＝BD·DC. （浙江省竞赛试题）
解题思路：对于（2），AD－AB＝(AD＋AB)(AD－AB)＝ (AD＋AE)(AD－AE)＝ (AD＋AE) ·DE，需证(AD＋AE) ·DE＝BD·DC，从构造相似三角形入手.
2
2
22
AOB
CED
能力训练
A 级
1.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC＝30°，点P在线段OB上运动.设∠ACP＝，则的取值范围是________.
2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，F是CG的中点，延长AF交⊙O于E，CF＝2，AF＝3，则EF的长为________.
CxAOPBAECFGDOBA第2题图D第3题图CPOB
第1题图
3.如图，AB，CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P.连接AD，BD，已知AD＝BD＝4，PC＝6，那么CD的长为________.
1
4.如图，圆内接四边形ABCD中的两条对角线相交于点P，已知AB＝BC，CD＝BD＝1.设AD＝，用的
2代数式表示PA与PC的积：PA·PC＝__________. （宁波市中考试题）
5.如图，ADBC是⊙O的内接四边形，AB为直径，BC＝8，AC＝6，CD平分∠ACB，则AD＝( ) A．50 B．32 C．52 D．42
DCACBBA
OA
OOBD
GDEC
2
第4题图 第5题图 第6题图
6.如图，在△ABC中，AD是高，△ABC 的外接圆直径AE交BC边于点G，有下列四个结论：①AD＝BD·CD；②BE＝EG·AE；③AE·AD＝AB·AC；④AG·EG＝BG·CG.其中正确结论的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（哈尔滨市中考试题）
2
?上任意一点，PA与BC交于点E，有如下结论：①PA＝PB 7.如图，正△ABC内接于⊙O，P是劣弧BC＋PC；②
111??；③PA·PE＝PB·PC.其中正确结论的个数是( ) （天津市中考试题） APPBPC
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
8. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长AD，BC交于点M，延长AB，DC交于点N，∠M＝20°，∠N＝40°，则∠A的大小为（ ）
A．35° B．60° C．65° D．70°
ANBCOADEA
COEB
CP
DMOB
第7题图 第8题图 第9题图
9. 如图，已知⊙O的内接四边形ABCD中，AD＝CD，AC交BD于点E. 求证：(1)
ADDE?； BDAD2
(2) AD·CD－AE·EC＝DE； （扬州市中考试题）
10. 如图，已知四边形ABCD外接圆⊙O的半径为5，对角线AC与BD交于点E，且AB＝AE?AC，BD＝8，求△ABD的面积. （黑龙江省中考试题）
2
C
OEDAB
11. 如图，已知⊙O的内接△ABC中，AB＋AC＝12，AD⊥BC于D，AD＝3. 设⊙O的半径为y，AB的长为.
(1) 求y与之间的函数关系式；
(2) 当AB的长等于多少时，⊙O的面积最大？并求出⊙O的最大面积. （南京市中考试题）
AB
12. 如图，已知半圆⊙O的直径AB＝4，将一个三角板的直角顶点固定在圆心O上.当三角板绕着O点转动时，三角板的两条直角边与半圆周分别交于C，D两点，连接AD，BC交于点E.
(1) 求证：△ACE∽△BDE； (2) 求证：BD＝DE；
(3) 设BD＝，求△AEC的面积y与的函数关系式，并写出自变量的取值范围.（广东省中考试题）
ODC
AEDCB
B 级
1.如图，△ABC内接于直径为d的圆，设BC＝a，AC＝b，那么△ABC的高CD＝__________.
2.如图，在平面直角坐标系中，△OCB的外接圆与y轴相交于点A（0，2），∠OCB＝60°，∠COB＝45°，则OC＝__________.
ADOCyACCxBB
O
ADOB
第1题图 第2题图 第3题图
3.如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB，设∠COD＝α，则
AB?gsin2＝________.（江苏省竞赛试题） AD24.如图，已知圆内接四边形ABCD中，AD≠AB，∠DAB＝90°，对角线AC平分∠DAB.若AD＝a，AB＝b，则AC＝___________. （“东亚杯”竞赛试题）
5.如图，ABCD是一个以AD为直径的圆内接四边形，AB＝5，PC＝4，分别延长AB和DC，它们相交于点P，若∠APD＝60°，则⊙O的面积为（ ）
A．25π B．16π C．15π D．13π
6. 如图，AB＝AC＝AD，若∠DAC是∠CAB的倍（为正数），那么∠DBC是∠BDC的（ ） A．倍 B．2倍 C．3倍 D．以上答案都不对
PCDOA
BCAB
AOD
BCD
第4题图 第5题图 第6题图
7. 如图，AD是Rt△ABC斜边BC上的高，AB＝AC，过A，D两点的圆与AB，AC分别相交于E，F，弦
EF与AD相交于点G，则图中与△GDE相似的三角形的个数为( )
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
8．如图，AB为⊙O的直径，AC交⊙O于点E，BC交⊙O于点D，CD＝BD，∠C＝70°，现给出以下四
?；④CE·AB＝2BD.其中正确结论的序号是( ) AE?BE个结论：①∠A＝45°；②AC＝AB；③?2
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
（苏州市中考试题）
AEBGFAECDB
ABDEOC
ODC
第7题图 第8题图 第9题图
9. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC为⊙O的直径，E为DC边上一点，若AE∥BC, AE＝EC＝7，AB＝6.
(1) 求AD的长；
(2) 求BE的长. （绍兴市竞赛题）
13
10.如图1，已知M（， ），以M为圆心，MO为半径的⊙M分别交轴，y轴于B，A.
22(1) 求A，B两点的坐标;
(2) C是?AO上一点，若BC＝3，试判断四边形ACOM是何种特殊四边形，并说明理由;
AB上一动点，连接PA，PB，PC.当P在?AB上运动时， (3) 如图2，在(2)的条件下，P是?PA+PO
求证：的值是定值.
PC
yACOMBxCOAyPMBx
11.如图，四边形ABCD为正方形，⊙O过正方形的顶点A和对角线的交点P，分别交AB，AD于点F，
E.
(1) 求证：DE＝AF； (2) 若⊙O的半径为
3AE，AB＝2＋1，求的值. （江苏省竞赛题） 2EDAOFB
EPDC
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