课下能力提升(十三)
[学业水平达标练]
题组1 向量的有关概念
1．汽车以120 km/h的速度向西走了2 h，摩托车以45 km/h 的速度向东北方向走了2 h，则下列命题中正确的是( )
A．汽车的速度大于摩托车的速度 B．汽车的位移大于摩托车的位移 C．汽车走的路程大于摩托车走的路程 D．以上都不对
解析：选C 速度和位移是向量，由向量不能比较大小可知A，B错；汽车走的路程为240 km，摩托车走的路程为90 km，故C正确．
2.如图，在圆O中，向量OB， OC，AO是( ) A．有相同起点的向量 B．单位向量 C．模相等的向量 D．相等的向量
解析：选C 由题图可知三向量方向不同，但长度相等． 3．下列命题：
①若a是单位向量，b也是单位向量，则a与b的方向相同或相反； ②若向量AB是单位向量，则向量BA也是单位向量；
③以坐标平面上的定点A为起点，所有单位向量的终点P的集合是以A为圆心的单位圆． 其中正确的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选C 由单位向量的定义知，凡长度为1的向量均称为单位向量，对方向没有任何要求，故①不正确．因为| AB|＝|BA|，所以当AB是单位向量时，BA也是单位向量，故②正确．因为向量AP是单位向量，故|AP|＝1，所以点P是以A为圆心的单位圆上的一点；反过来，若点P是以A为圆心的单位圆上的任意一点，则因为|AP|＝1，所以向量AP是单位向量，故③正确．
题组2 向量的表示
4．一个人先向东行进了5千米，而后又向西行进了3千米，那么这个人总共( ) A．向东行进了8千米 B．向东行进了2千米 C．向东行进了5千米 D．向西行进了3千米
解析：选B 记向东方向为正，则向东行进了5千米为＋5千米，向西行进了3千米为
－3千米，则＋5＋(－3)＝＋2，表示向东行进了2千米．
5．如图，在矩形ABCD中，可以用一条有向线段表示的向量是( ) A．DA和BC B．DC和AB C．DC和BC D．DC和DA
解析：选B DC和AB方向相同且大小相等，是相等向量，故可以用一条有向线段表示．
6.在如图的方格纸中，画出下列向量． (1)| OA|＝3，点A在点O的正西方向； (2)| OB|＝32，点B在点O北偏西45°方向； (3)求出|AB|的值．
解：取每个方格的单位长为1，依题意，结合向量的表示可知，(1)(2)的向量如图所示．
(3)由图知，△AOB是等腰直角三角形，所以| AB|＝|OB―→|－|OA―→|＝3. 题组3 相等向量与共线向量
7．在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则如图所示的向量中，相等向量有( )
A．一组 B．二组 C．三组 D．四组
解析：选A 由向量相等的定义可知，只有一组向量相等，即CE＝EA.
8．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A，B，C，D，
2
2
E，F，O中的任意一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，
与向量OA共线的向量共有( )
A．2个 B．3个 C．6个 D．9个
解析：选D 与向量OA共线的向量有AO， OD，DO，BC，CB，EF，FE，
AD，DA，共9个．
9．如图，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形，那么以图中各点为起点或终点的向量中：
(1)与AB共线的向量有_____________________________________________； (2)与AB相等的向量有_____________________________________________； (3)与AB模相等的向量有___________________________________________． 解析：(1)与已知向量在同一直线上或平行的向量都是它的共线向量，根据题意，与AB共线的向量有BA， BE，EB，AE，EA，DC，CD.
(2)与已知向量相等的向量与已知向量方向相同、长度相等，于是与AB相等的向量有
BE，DC.
(3)向量的模相等，只需长度相等，与方向无关，根据正方形和等腰直角三角形的性质，可知与AB模相等的向量有BA，BE，EB，DC，CD，AD，DA，BC，CB.
答案：(1) BA，BE，EB，AE，EA，DC，CD (2) BE，DC (3) BA，BE，EB，DC，CD，AD，DA，BC，CB
10．如图是4×3的矩形(每个小方格的边长都是1)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，与向量AB平行且模为2的向量共有几个？与向量AB方向相同且模为32的向量共有几个？
解：(1)依题意，每个小方格的两条对角线中，有一条对角线对应的向量及其相反向量都和AB平行且模为2.
因为共有12个小方格，所以满足条件的向量共有24个．
(2)易知与向量AB方向相同且模为32的向量共有2个．
[能力提升综合练]
1．如图所示，在正三角形ABC中，P、Q、R分别是AB、BC、AC的中点，则与向量PQ 相等的向量是( )
A．PR与QR B．AR与RC C．RA与CR D．RA与QR
解析：选B 向量相等要求模相等，方向相同，因此AR与RC都是和PQ相等的向量． 2．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则|BD|＝( ) A．1 B.3 C．2 D．23
1
解析：选D 易知AC⊥BD，且∠ABD＝30°，设AC与BD交于点O，则AO＝AB＝1.在
2Rt△ABO中，易得|BO|＝3，则|BD|＝2|BO|＝23.故选D.
3．下列说法中正确的是( ) A．| AB|与线段BA的长度不相等 B．对任一向量a，|a|>0总是成立的 C．| AB|＝|BA|
D．若a∥b，且|a|＝1 005，|b|＝1 013，则|a＋b|＝2 018
解析：选C | AB|，|BA|分别与线段AB，BA的长度相等，所以A不正确，C正确；|0|＝0，对任一向量a，|a|≥0总成立，所以B不正确；对于D，当a与b方向相反时，|a＋b|＝8，故D不正确．
4．给出下列命题：①若|a|＝0，则 a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若a∥b，则|a|＝|b|.其中，正确的命题有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解析：选A ①忽略了0与0的区别，a＝0；②混淆了两个向量的模相等和两个实数相等，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定；③两个向量平行，可以得出它们的方向相同或相反，未必得到它们的模相等．
5．设a0，b0分别是a，b的单位向量，则下列结论中正确的是________(填序号)． ①a0＝b0；②a0＝－b0；③|a0|＋|b0|＝2；④a0∥b0. 解析：因为a0，b0是单位向量，|a0|＝1，|b0|＝1，
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