。 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 第2讲 平面向量基本定理与坐标表示
最新考纲 1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
知 识 梳 理
1.平面向量的基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 3.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
2a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y1. (2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
→→22②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝（x2－x1）＋（y2－y1）. 4.平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b?x1y2－x2y1＝0.
诊 断 自 测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( ) (2)同一向量在不同基底下的表示是相同的.( )
(3)设a，b是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成＝.( ) →→
(5)在△ABC中，设AB＝a，BC＝b，则向量a与b的夹角为∠ABC.( )
- 1 -
x1y1x2y2
解析 (1)共线向量不可以作为基底. (2)同一向量在不同基底下的表示不相同. (4)若b＝(0，0)，则＝无意义. (5)向量a与b的夹角为∠ABC的补角. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
2.(2017·东阳月考)已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，则2a＋b等于( ) A.(5，7)
B.(5，9)
C.(3，7)
D.(3，9)
x1y1x2y2
解析 2a＋b＝2(2，4)＋(－1，1)＝(3，9)，故选D. 答案 D
→→
3.(2015·全国Ⅰ卷)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量AC＝(－4，－3)，则向量BC＝( ) A.(－7，－4) C.(－1，4)
B.(7，4) D.(1，4)
→→→→
解析 根据题意得AB＝(3，1)，∴BC＝AC－AB＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)，故选A. 答案 A
4.(2016·全国Ⅱ卷)已知向量a＝(m，4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________. 解析 因为a∥b，所以由(－2)×m－4×3＝0，解得m＝－6. 答案 －6
5.(必修4P101A3改编)已知?ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为________.
???4＝5－x，?x＝1，→→?解析 设D(x，y)，则由AB＝DC，得(4，1)＝(5－x，6－y)，即解得? ?1＝6－y，?y＝5.??
答案 (1，5)
→
6.(2017·浙江五校联考)已知O，A，B是平面上不共线的三点，直线AB上有一点C，满足2AC→
＋CB＝0.
→→→
(1)用OA，OB表示OC为________；
(2)若点D是OB的中点，则四边形OCAD的形状是________. →→→→→→
解析 (1)因为2AC＋CB＝0，所以2(OC－OA)＋(OB－OC)＝0， →→→所以OC＝2OA－OB.
1→→1→→→→→→1
(2)如图，D为OB的中点，则DA＝DO＋OA＝－OB＋OA＝(2OA－OB).故DA＝
222→
OC，
- 2 -
即DA∥OC，且DA≠OC，故四边形OCAD为梯形. →→
答案 (1)2OA－OB (2)梯形
考点一 平面向量基本定理及其应用
→→
【例1】 (1)(2014·全国Ⅰ卷)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB＋FC＝( ) →A.AD
1→B.AD 2
1→ C.BC 2
→ D.BC
→1→→
(2)(2017·金华调研)如图，在△ABC中，AN＝NC，P是BN上的一点，若AP3→2→
＝mAB＋AC，则实数m的值为________.
11
→→→→→→
解析 (1)如图所示，EB＋FC＝(EC－BC)＋(FB＋BC) →→1→1→1→→→＝EC＋FB＝AC＋AB＝(AC＋AB)＝AD.
222→→
(2)设BP＝kBN，k∈R.
→→→→→→→→因为AP＝AB＋BP＝AB＋kBN＝AB＋k(AN－AB) →?1→→?→k→＝AB＋k?AC－AB?＝(1－k)AB＋AC，
4?4?→→2→
且AP＝mAB＋AC，
11
k283
所以1－k＝m，＝，解得k＝，m＝.
4111111
3
答案 (1)A (2)
11
规律方法 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
→→→→→→
【训练1】 (1)如图，已知AB＝a，AC＝b，BD＝3DC，用a，b表示AD，则AD＝________.
(2)(2017·南京、盐城模拟)如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，
E为线段AO的中点.若BE＝λBA＋μBD(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝
- 3 -
→→→
________.
1→3→13→→→→3→→3→→
解析 (1)AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC＝a＋b.
444444
11→1→1→1→1→
(2)由题意可得BE＝BA＋BO＝BA＋BD，由平面向量基本定理可得λ＝，μ＝，所以λ
2224243
＋μ＝. 4
133
答案 (1)a＋b (2)
444考点二 平面向量的坐标运算
【例2】 (1)已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝( ) A.(－23，－12) C.(7，0)
B.(23，12) D.(－7，0)
(2)(2017·北京西城模拟)向量a，b，c在正方形网格中，如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，λ
则＝( ) μ
A.1
B.2
C.3
D.4
解析 (1)3a－2b＋c＝(23＋x，12＋y)＝0，故x＝－23，y＝－12，故选A.
(2)以向量a，b的交点为坐标原点，建立如图直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，A(1，－1)，B(6，2)，C(5，－1)，所以a＝(－1，1)，b＝(6，2)，c＝(－1，－3)，∵c＝λa＋μb，
??－1＝－λ＋6μ，1λ－2∴?解之得λ＝－2且μ＝－，因此，＝＝4，故选D.
2μ1?－3＝λ＋2μ，?
－
2
答案 (1)A (2)D
规律方法 (1)巧借方程思想求坐标：若已知向量两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中注意方程思想的应用.
(2)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算的代数化，将数与形结合起来，使几何问题转化为数量运算问题.
→
【训练2】 (1)已知点A(－1，5)和向量a＝(2，3)，若AB＝3a，则点B的坐标为( ) A.(7，4)
B.(7，14)
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