C.(5，4) D.(5，14)
(2)(2015·江苏卷)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2).若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________.
→
解析 (1)设点B的坐标为(x，y)，则AB＝(x＋1，y－5).
???x＋1＝6，?x＝5，→
由AB＝3a，得?解得?
?y－5＝9，?y＝14.??
??2m＋n＝9，
(2)由向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，得ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，则?
??m－2n＝－8，
解得?
?m＝2，???n＝5，
故m－n＝－3.
答案 (1)D (2)－3
考点三 平面向量共线的坐标表示
【例3】 (1)已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝________. (2)(必修4P101练习7改编)已知A(2，3)，B(4，－3)，点P在线段AB的延长线上，且|AP|3
＝|BP|，则点P的坐标为________. 2
解析 (1)由a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b， 得1×m－2×(－2)＝0，即m＝－4. 从而b＝(－2，－4)，
那么2a＋3b＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8). (2)设P(x，y)，由点P在线段AB的延长线上， 3→3→
则AP＝BP，得(x－2，y－3)＝(x－4，y＋3)，
22
???x＝8，?
即?解得?
?3y＝－15.?
y－3＝（y＋3）.??2
x－2＝（x－4），
所以点P的坐标为(8，－15). 答案 (1)(－4，－8) (2)(8，－15)
规律方法 (1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；②若a∥b(b≠0)，则a＝λb.(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.
→
【训练3】 (1)(2017·浙江三市十二校联考)已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与AB同方向的单位向量是( )
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32
4??3
A.?，－?
5??5
3??4
B.?，－?
5??5
?34?C.?－，?
?55??43?D.?－，? ?55?
(2)若三点A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共线，则实数a的值为________. →→→
解析 (1)AB＝OB－OA＝(4，－1)－(1，3)＝(3，－4)， →
4?AB?3→
∴与AB同方向的单位向量为＝?，－?.
5?→?5
|AB|
→→→→(2)AB＝(a－1，3)，AC＝(－3，4)，根据题意AB∥AC， 5
∴4(a－1)－3×(－3)＝0，即4a＝－5，∴a＝－.
45
答案 (1)A (2)－
4
[思想方法]
1.对平面向量基本定理的理解
(1)平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.
(2)平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组. (3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a＝λ1e1＋λ2e2的形式. 2.向量共线的作用
向量共线常常用来解决交点坐标问题和三点共线问题，向量共线的充要条件用坐标可表示为
x1y2－x2y1＝0.
[易错防范]
1.要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，向量的终点坐标减去起点坐标就是向量坐标，当向量的起点是原点时，其终点坐标就是向量坐标..
2.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.
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