基本不等式

基本不等式

【知识梳理】

1．重要不等式

a2＋b2≥2ab(a，b∈R)(当且仅当a＝b时等号成立)． 2．基本不等式ab ≤a＋b

2

(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0；

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时等号成立；

(3)其中a＋b

2叫做正数a，b的算术平均数，ab叫做正数a，b的几何平均数.

3．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)，

那么当x＝y时，x＋y有最小值2P(简记：“积定和最小”)． (2)如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，

那么当x＝y时，xy有最大值S2

4(简记：“和定积最大”)．

4．常用的几个重要不等式 (1)a＋b≥2ab(a>0，b>0)． (2)ab≤?

a＋b?2??2

(a，b∈R)．

(3)?a＋b2

2

?2??2≤a＋b2(a，b∈R)． (4)ba＋a

b

≥2(a，b同号)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b． 5、利用基本不等式求最值问题的解题策略

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(1)利用基本(均值)不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本(均值)不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．

(2)在利用基本(均值)不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本(均值)不等式．

(3)“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误．

(4)要多次运用基本不等式才能求出最后结果的题目切记等号成立的条件要一致．

(5)注意基本不等式成立的条件是a>0，b>0，若a<0，b<0，应先转化为－a>0，－b>0，再运用基本不等式求解．

【考点精炼】

考点一、通过配凑法求最值

1例1、若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取得最小值，则a等于( )

x－2A．1＋2 C．3

B．1＋3 D．4

1

x－2·＋2＝2＋2＝

x－2

11

【答案】C [∵x>2，∴x－2>0，∴f(x)＝x＋＝(x－2)＋＋2≥2·

x－2x－24，

1

当且仅当x－2＝，即(x－2)2＝1时等号成立，

x－2

解得x＝1或3. 又∵x>2，∴x＝3，即a等于3时，函数f(x)在x＝3处取得最小值．] 练习、(2019·山东济宁月考)已知0

33C．

4

1B．

22D． 3

2?x??1?x??31

【答案】B [∵0

51练习、(2018·湖北荆州期末)已知x<，则f(x)＝4x－2＋的最大值为__________.

44x－5

1?51?5－4x＋【答案】1 [因为x<，所以5－4x>0，则f(x)＝4x－2＋＝－5－4x?＋3≤－2＋3＝1. 当4?4x－511

且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.]

5－4x4x－5

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考点二、通过常数代换法利用基本(均值)不等式求最值

1

例2、(2019·山东聊城检测)已知a>0，b>0，且2a＋b＝4，则的最小值为( )

ab1

A．

41

C．

2

B．4 D．2

11

【答案】C [∵a>0，b>0，∴4＝2a＋b≥22ab，∴ab≤2，∴ ≥，等号在a＝1，b＝2时成立．]

ab211

练习、已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则＋的最小值为________.

ab

11a＋ba＋bba

【答案】4 [∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，∴＋＝＋＝2＋＋ ≥2＋2ababab1

小值为4，当且仅当a＝b＝时等号成立．]

2

考点三、通过消元法利用基本(均值)不等式求最值

例3、已知正实数x，y满足xy＋2x＋y＝4，则x＋y的最小值为________.

4－y4－y

【答案】26－3 [因为xy＋2x＋y＝4，所以x＝. 由x＝>0，得－20，则0

y＋2y＋24－y66

所以x＋y＝＋y＝＋(y＋2)－3≥26－3，当且仅当＝y＋2(0

y＋2y＋2y＋2

b2

练习、(2019·广东梅州月考)设a，b，c均为正数，满足a－2b＋3c＝0，则的最小值是________.

aca＋3cb2a2＋9c2＋6ac6ac＋6ac

【答案】3 [∵a－2b＋3c＝0，∴b＝，∴＝ ≥＝3，当且仅当a＝3c时

2ac4ac4ac取“＝”．]

ba11

·＝4，即＋的最abab

【知识梳理】

6、用基本不等式求实际应用题的三个注意点

(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．

(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．

【考点精炼】

考点四、基本不等式的实际应用

例4、(2019·山东聊城月考)某化工企业2018年年底将投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，

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以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元)．

(1)用x表示y；

(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备．

100＋0.5x＋

解 (1)由题意得y＝100

即y＝x＋＋1.5(x∈N*)．

x(2)由基本不等式得： 100

y＝x＋＋1.5≥2

x

100x·＋1.5＝21.5， x

2＋4＋6＋…＋2x

，

x

100

当且仅当x＝，即x＝10时取等号．

x

故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备．

练习、(2018·四川成都期末)某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x(单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位：m2)．

(1)求S关于x的函数关系式； (2)求S的最大值．

900?7 200

－2＝－2x－解 (1)由题设，得S＝(x－8)?＋916，x∈(8，450)． ?x?x

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(2)因为8

所以2x＋ ≥2

x

7 2002x·＝240，

x

当且仅当x＝60时等号成立，从而S≤676.

故当矩形温室的室内长为60 m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m2.

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