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考点35 矩阵与变换
一、考纲要求 内 容 要 求 A 矩阵的概念 二阶矩阵与平面向量 常见的平面变换 矩阵的复合与矩阵的乘法 二阶逆矩阵 二阶矩阵的特征值和特征向量 二阶矩阵的简单应用 √ √ B √ √ √ √ √ C 1、了解矩阵的概念及常见的平面变换
2、掌握矩阵的复合与矩阵的乘法以及二阶逆矩阵
3、能进行矩阵的逆矩阵以及二阶矩阵的特征值和特征向量的运算 二、近五年江苏高考 年份 考查知识点 2019年 2018年 2017年 矩阵的乘法以及矩阵的变换 2016年 逆矩阵以及矩阵的乘法 2015年 矩阵的特征值与特征向量 矩阵的运算、逆矩阵以及特征值等基础知识 矩阵的变换 这几年矩阵与变换是作为江苏高考必选题型，纵观这几年江苏高考常考题型主要体现以下几点：1、矩阵的运算和求矩阵的逆矩阵；2、五矩阵的逆矩阵；3、求矩阵变化下的曲线方程。 三、考点总结：
矩阵作为江苏高考的必考知识点，在复习时要了解矩阵的概念及常见的平面变换，理解掌握矩阵的复合与矩阵的乘法以及二阶逆矩阵的概念，并能进行简单的矩阵的逆矩阵以及二阶矩阵的特征值和特征向量的运算。
四、近五年江苏高考题
?31?1、（2019年江苏卷）已知矩阵A??? 22??2
1
2
（1）求A；
（2）求矩阵A的特征值. 【分析】
(1)利用矩阵的乘法运算法则计算A2的值即可；
(2)首先求得矩阵的特征多项式，然后利用特征多项式求解特征值即可. ?31?【解析】（1）因为A???，
?22?所以A??2?31??31???22? 22?????3?3?1?23?1?1?2??115?=??=?106?． 2?3?2?22?1?2?2????（2）矩阵A的特征多项式为
f(?)???3?2?1??2??2?5??4.
令f(?)?0，解得A的特征值?1?1,?2?4. 2、（2018年江苏卷） 已知矩阵（1）求的逆矩阵
；
，求点P的坐标．
．
（2）若点P在矩阵对应的变换作用下得到点
【解析】分析：（1）根据逆矩阵公式可得结果；（2）根据矩阵变换列方程解得P点坐标. 详解：（1）因为从而
．
，所以
，
，
，所以A可逆，
（2）设P(x，y)，则
因此，点P的坐标为(3，–1)．
点睛：本题考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力. 01?10???3、（2017江苏卷）已知矩阵A＝??，B＝??.
?10??02?
(1) 求AB；
x2y2
(2) 若曲线C1：＋＝1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程．
82
2
1
01?10??? 规范解答：(1) 因为A＝??，B＝??， ?10??02?
所以AB＝?
?01??10?＝?02?. ??????10??02??10?
(2) 设Q(x0，y0)为曲线C1上的任意一点，它在矩阵AB对应的变换作用下变为P(x，y)， x＝y，???002??x0??x??2y0＝x，?则?所以? ???＝??，即?x
?10??y0??y??y＝.?x0＝y，0?2?
x2y200因为点Q(x0，y0)在曲线C1上，所以＋＝1，
82y2x2
从而＋＝1，即x2＋y2＝8.
88
因此曲线C1在矩阵AB对应的变换作用下得到曲线C2：x2＋y2＝8.
1??1 21－??2?，求矩阵AB. 4、(2016年江苏卷)已知矩阵A＝??，矩阵B的逆矩阵B－1＝????0－2??0 2?
ab?? 规范解答 设B＝??，
?cd?
?1－1－2则B1B＝?
?
?0 2
?ab
?＝?10?， ???????cd???01?
?
?a－1cb－1d?10?22?＝?即?， ????01???2c2d?
??b－1d＝0，故?2
2c＝0，??2d＝1，
1
a－c＝1，2
?，?b＝14解得?c＝0，
?，?d＝12
???0
114a＝1，
?所以B＝?
?0
5?4?. ?－1?
1
? . 1?2?
14
?1 2?
因此，AB＝??
?0－2?
???1＝1??
?02?
? 1??x
5、(2015年江苏卷)已知x，y∈R，向量α＝??是矩阵A＝?
?y ?－1?
矩阵A以及它的另一个特征值．
1?0?
?的属于特征值－2的一个特征向量，求
2
1
规范解答 由已知，得Aα＝－2α，即?
?x ?y
1?? 1?
?x－1??－2?
???＝??＝??， 0??－1?? y?? 2?
???x－1＝－2，?x＝－1，?－1 1??则即?所以矩阵A＝??.
? 2 0??y＝2，???y＝2，
从而矩阵A的特征多项式f(λ)＝(λ＋2)(λ－1)，令f(λ)＝0，解得A的特征值λ1＝－2，λ2＝1， 所以矩阵A的另一个特征值为1.
五、三年模拟 题型一、求曲线的方程
1、(2019宿迁市直学校期末） 已知矩阵M＝?
?12?的一个特征值为λ＝3，其对应的一个特征向量为α＝??a1?
?1?，求直线l：x＋2y＋1＝0在矩阵M对应的变换作用下得到的曲线l的方程． ??12?1?
12??1?1??? 规范解答 解法1 由Mα＝λα得????＝3??， ?a1??1??1?
12??所以a＝2，M＝??.(2分) ?21?
设P1(x1，y1)是直线l1上任意一点，在矩阵M对应的变换作用下得到点P2(x2，y2)，且P2在曲线l2上． 12??x1??x2??x2＝x1＋2y1，?由?(4分) ???＝??得?
?21??y1??y2??y2＝2x1＋y1，
?所以?21
y＝x－?33y，
1
2
2
12x1＝－x2＋y2，
33
(6分)
代入直线l1的方程得x2＋1＝0，所以曲线l2的方程为x＋1＝0.(10分)
?12??1?＝3?1?，所以a＝2，M＝?12?.(2分)
????????a1??1??1??21?
?12??－1?＝?－1?，?12??1?＝?－1?，(4分)
取直线l1上两点P1(－1，0)，P2(1，－1)，由????????????
?21??0??－2??21??－1??1?
解法2 由Mα＝λα得?
所以在矩阵M对应的变换作用下P1，P2变换为Q1(－1，－2)，Q2(－1，1)在曲线l2上，(6分) 又因为二阶矩阵把直线变为直线，所以曲线l2就是经过点Q1，Q2的直线x＝－1.(10分) 2、(2019 南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港三调）已知a，b，c，d∈R，矩阵A＝?的逆矩阵A1＝?
－
?a－2?
?
?0b?
?1c?.若曲线C在矩阵A对应的变换作用下得到直线y＝2x＋1，求曲线C的方程．
??d1?
2
1
规范解答 由题意得，AA1＝?
－
?10?，即?a－2??1c?＝?a－2dac－2?＝?10?，
??????????01??0b??d1??bdb??01?
所以a＝1，b＝1，c＝2，d＝0，
?1－2?
即矩阵A＝??.(5分)
?01?
设P(x，y)为曲线C上的任意一点，在矩阵A对应的变换作用下变为点P′(x′，y′)，
?x′??1－2??x??x′＝x－2y，?则??＝?(8分) ???，即?
?y′??01??y??y′＝y.?
由已知条件可知，P′(x′，y′)满足y＝2x＋1，整理得2x－5y＋1＝0， 所以曲线C的方程为2x－5y＋1＝0.(10分)
3、(2019 盐城市2019届高三第三次模拟考试）直线l：2x－y－3＝0在矩阵M＝?TM下得到直线l′，求l′的方程．
规范解答 在直线l上点取A(1，－1)，
?－10?
?所对应的变换
?41?
?－10??1??－1??? ??＝??，故A(1，－1)在矩阵M的变换下得到A′(－1，3)，(4分) ?41??－1??3?
再在直线l上取点B(2，1)，
?－10??2??－2??? ??＝??，在矩阵M的变换下得到B′(－2，9)，(8分) ?41??1??9?
连结A′B′，可得直线l′：6x＋y＋3＝0.(10分)
12?20???4、(2018南京三模）已知矩阵A＝??，B＝??，若直线l：x－y＋2＝0在矩阵AB对应的变换?01??01?作用下得到直线l1，求直线l1的方程．
思路分析 设直线l上任意一点P(x，y)在矩阵AB对应的变换作用下得到直线l1上的点Q(x′，y′)，用x′，y′表示x，y.由关于x，y的方程转化为关于x′，y′的方程．
规范解答 首先，AB＝?
?1
?0 2??2 0??2 ???＝?1??0 1??0
2?1?
?.(4分)
设直线l上任意一点P(x，y)在矩阵AB对应的变换作用下得到直线l1上的点Q(x′，y′)， x′??2 ?则??＝??y′??0
?x′＝2x＋2y，
(6分) ???，即?
1??y??y′＝y，
2??x?
1??x＝2x′－y′，1
得?因为x－y＋2＝0，所以x′－y′－y′＋2＝0，即x′－4y′＋4＝0.
2
??y＝y′.所以直线l1的方程是x－4y＋4＝0.(10分)
2
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