第一章 计数原理
阶段通关训练 (60分钟 100分)
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.由0,1,2,3,…,9十个实数和一个虚数单位i可以组成虚数的个数为 ( ) A.100
B.10
C.9
D.90
【解析】选D.复数a+bi(a,b∈R)为虚数,则a有10种可能,b有9种可能,共10×9=90种可能. 2.如图,在由开关组A与B所组成的并联电路中,接通电源,每次只能闭合一个开关,则能使电灯发光的方法种数为 ( )
A.6
B.5
C.30
D.1
【解析】选B.只要合上图中任一开关,电灯就会发光,开关组A中有2个开关;开关组B中有3个开关,由分类加法计数原理得共有2+3=5种方法.
【补偿训练】(2017·临汾高二检测)如图所示为一电路图,从A到B共有________条不同的串联电路线路可通电.
【解析】按上、中、下三条线路可分为三类:上线路中有3条,中线路中有1条,下线路中有2×2=4(条),根据分类加法计数原理,共有3+1+4=8(条). 答案:8
3.(2017·郑州高二检测)甲、乙、丙3位同学选修课程,从4门课程中,甲选修2门,乙、丙各选修3门,则不同的选修方案共有 ( ) A.36种
B.48种
C.96种 ·
·
D.192种
【解析】选C.不同的选修方案共有4.若
=6
,则n的值为 ( )
=96种,故选C.
A.6 B.7 C.8 D.9
【解析】选B.解得n-3=4,n=7.
=6·,
5.如图所示,花坛内有五个花池,有五种不同颜色的花卉可供栽种,每个花池内只能种同种颜色的花卉,相邻两池的花色不同,则最多的栽种方案有 ( )
A.180种 C.360种
B.240种 D.420种
【解析】选D.由题意知,最少用三种颜色的花卉,按照花卉选种的颜色可分为三类方案,即用三种颜色,四种颜色,五种颜色.
①当用三种颜色时,花池2,4同色和花池3,5同色,此时共有②当用四种颜色时,花池2,4同色或花池3,5同色,故共有2③当用五种颜色时有因此所有栽种方案为
种方案. +2
++ +
+
=420(种). +
+…+
-除以9的余数是 ( ) D.-2
种方案. 种方案.
6.(2017·常德高二检测)A.7
B.0
C.3 +…+
【解析】选A.原式==(1+1)-1 =2-1 =8-1 =(9-1)-1 ==
9-×9-111111
1133
33
9+…+×9+…+
10
10
9--1 ×9-2
=9M+7(M为整数). 故余数为7.
二、填空题(每小题5分,共20分)
7.(2017·青岛高二检测)若的展开式中x的系数为,则常数a的值为__________.
3
【解析】Tk+1=
=(-1)·
k
a·
9-k
,
令-9=3,得k=8,
所以(-1)
8
a·=a=,
所以a=4. 答案:4
8.(2016·全国卷Ⅰ)(2x+
)的展开式中,x的系数是________.(用数字填写答案)
5
3
【解析】设展开式的第k+1项为Tk+1,k∈{0,1,2,3,4,5},
所以Tk+1=(2x)(
5-k
)=
k
2
5-k
.
当5-=3时,k=4,
即T5=2
5-4
=10x.
3
答案:10
9.现有高三(1)班参加校文艺演出的3男3女共6位同学,从左至右站成一排合影留念,要求3位女生有且只有两个相邻,则不同的排法有________种.
【解析】先将3位女生分成两组,再将3位男生排成一排,用插空法将两组女生插入男生间(包含两端)空隙中,共有答案:432
·
·
·
=432(种).
10.用红、黄、蓝3种颜色之一去涂图中标号为1,2,…,9的9个小正方形(如图所示),使得任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同,且标号为1,5,9的小正方形涂相同的颜色,则符合条件的所有涂法共有__________种.
1 4 7 2 5 8 3 6 9 【解析】分三步进行涂色,第一步,给标号为1,5,9的小正方形涂色,有3种颜色可供选择.第二步,给标号为2,3,6的小正方形涂色:①若标号为3的小正方形的颜色与标号为1,5,9的小正方形的颜色相同,则标号为2,6的小正方形的颜色选择各有2种,根据分步乘法计数原理,其涂色方法有1×2×2=4(种);②若标号为3的小正方形的颜色与标号为1,5,9的小正方形的颜色不同,则标号为3的小正方形的颜色选择有2种,标号为2,6的小正方形的颜色选择各有1种,根据分步乘法计数原理,其涂色方法有:2×1×1=2(种).综上所述,标号为2,3,6的小正方形涂色方法共有4+2=6(种).第三步,给标号为4,7,8的小正方形涂色,其涂色方法与标号为2,3,6的小正方形的涂色方法相同,也有6种.故根据分步乘法计数原理,符合条件的所有涂法共有3×6×6=108(种). 答案:108
三、解答题(共4小题,共50分) 11.(12分)现有6本书,如果
(1)分成三组,一组3本,一组2本,一组1本. (2)分给三个人,一人3本,一人2本,一人1本. 分别求分法种数.
【解析】(1)分三步完成:第一步,从6本书中取3本,有取法,第三步,剩下1本为一组,共有分法
=60(种).
种取法;第二步,从剩下的3本中取2本,有
种
(2)分给三人,由于哪个人得多少本书没有限制,所以可先按(1)的方法将书分组,再分配到人的方法,共有
=360(种).
12.(12分)一个口袋内有4个不同的红球,6个不同的白球. (1)从中任取4个球,红球的个数不比白球少的取法有多少种?
(2)若取一个红球记2分,取一个白球记1分,从中任取5个球,使总分不少于7分的取法有多少种? 【解析】(1)将取出4个球分成三类情况: ①取4个红球,没有白球,有
种;
②取3个红球,1个白球,有③取2个红球,2个白球,有故有
+
+
=115种.
种; 种,
(2)设取x个红球,y个白球,
则
故或或
因此,符合题意的取法种数有
+
+
=186种.
7
13.(13分)(1)求(1+2x)的展开式中的第4项的系数.
(2)求的展开式中x的系数.
3
【解析】(1)展开式的第4项为 T4=
(2x)=280x,
3
3
所以第4项的系数是280.
(2)设展开式的第k+1项为含x的项,则
3
Tk+1=x
9-k
=x
9-2k
,
所以9-2k=3,k=3.
即展开式中的第4项含x,其系数为
3
=84.
14.(13分)(2017·烟台高二检测)已知(1)求该展开式中所有有理项的项数. (2)求该展开式中系数最大的项.
的展开式中,只有第六项的二项式系数最大.
【解析】(1)由题意可知:+1=6,所以n=10.
所以Tr+1=2x=
r-2r
2
r
(0≤r≤10,且r∈N),
要求该展开式中的有理项,只需令∈Z,
所以r=0,2,4,6,8,10,所有有理项的项数为6项. (2)设第Tr+1项的系数最大,
则即
解得:≤r≤,
因为r∈N,得r=7.
所以展开式中的系数最大的项为
T8=2
7
=15360.
【能力挑战题】
由四个不同的数字1,2,4,x组成无重复数字的三位数. (1)若x=5,其中能被5整除的共有多少个? (2)若x=9,其中能被3整除的共有多少个? (3)若x=0,其中的偶数共有多少个?
(4)若所有这些三位数的各位数字之和是252,求x. 【解析】(1)若x=5,则四个数字为1,2,4,5; 又由要求的三位数能被5整除,则5必须在末尾, 在1,2,4三个数字中任选2个,放在前2位,有即能被5整除的三位数共有6个. (2)若x=9,则四个数字为1,2,4,9;
又由要求的三位数能被3整除,则这三个数字为1,2,9或2,4,9,
=6种情况,
取出的三个数字为1,2,9时,有取出的三个数字为2,4,9时,有
=6种情况, =6种情况,
则此时一共有6+6=12个能被3整除的三位数. (3)若x=0,则四个数字为1,2,4,0;
又由要求的三位数是偶数,则这个三位数的末位数字为0或2或4, 当末位是0时,在1,2,4三个数字中任选2个,放在前2位,有当末位是2或4时,有
×
×
=8种情况,
=6种情况,
此时三位偶数一共有6+8=14个, (4)若x=0,可以组成
×
×
=3×3×2=18个三位数,即1,2,4,0四个数字最多出现18次,
则所有这些三位数的各位数字之和最大为(1+2+4)×18=126,不合题意, 故x=0不成立;
当x≠0时,可以组成无重复三位数共有
×
×
=4×3×2=24种,共用了24×3=72个数字,
则每个数字用了=18次,则有252=18×(1+2+4+x),解可得x=7.
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