1.2.1《任意角的三角函数》教学设计（2）
【教学目标】
1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式； 2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；
3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围. 【导入新课】 （一）复习：（提问）
1．三角函数的定义及定义域、值域：
练习1：已知角?的终边上一点P(?3,m)，且sin??2m，求cos?,sin?的值. 42222解：由题设知x??3，y?m，所以r?|OP|?(?3)?m，得r?3?m2，
从而sin??2mmm2??，解得m?0或16?6?2m?m??5． r43?m2当m?0时，r?3,x??3， cos??xy??1,tan???0； rxx6y15??,tan????； r4x3x6y15??,tan???． r4x3当m?5时，r?22,x??3，cos??当m??5时，r?22,x??3，cos??2．三角函数的符号：
练习2：已知sin??0且tan??0， （1）求角?的集合；（2）求角3．诱导公式：
练习3：求下列三角函数的值： （1）cos?终边所在的象限；（3）试判断tan?,sin?cos?的符号. 22229?11?9?)，，（2）tan(?（3）sin．
462（二）问题：角是一个图形概念，也是一个数量概念（弧度数）.作为角的函数——三角函数是一个数量概念（比值），但它是否也是一个图形概念呢？换句话说，能否用几何方式来表示三角函数呢？ 新授课阶段
1
[边描述边画]以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米）.当角?为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点P(x,y)，过点P作PM?x轴交x轴于点
y M，则请你观察:
根据三角函数的定
义：|MP|?|y|?|sin?|；
a角的终P T |OM|?|x|?|cos?|.
O 随着?在第一象限内转动，MP、OM是否也跟着变化？ 思考：（1）为了去掉上述等式中的绝对值符号，能否给线段MP、OM规定一个适当的方向，使它们的取值与点P的坐标一致？
（2）你能借助单位圆，找到一条如MP、OM一样的线段来表示角?的正切值吗？我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角?的终边不在坐标轴时,以O为始点、M为终点，规定：
当线段OM与x轴同向时，OM的方向为正向，且有正值x；当线段OM与x轴反向时，OM的方向为负向，且有正值x；其中x为P点的横坐标.这样,无论那种情况都有
M A x OM?x?cos?.
同理,当角?的终边不在x轴上时,以M为始点、P为终点，规定：
当线段MP与y轴同向时，MP的方向为正向，且有正值y；当线段MP与y轴反向 时，MP的方向为负向，且有正值y；其中y为P点的横坐标.这样,无论那种情况都有
MP?y?sin?.
像MP、OM这种被看做带有方向的线段，叫做有向线段（direct line segment）. 如何用有向线段来表示角?的正切呢?
如上图,过点A(1,0)作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与?的终边交于点
T,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OA、AT,我们有
tan??AT?y. x我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT,分别叫做角?的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.
2
探究：（1）当角?的终边在第二、第三、第四象限时，你能分别作出它们的正弦线、余弦线和正切线吗？
（2）当?的终边与x轴或y轴重合时，又是怎样的情形呢？
三角函数线
设任意角?的顶点在原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点
P(x,y)，过P作x轴的垂线，垂足为M；过点A(1,0)作单位圆的切线，它与角?的
y
终边或其反向延长线交与点T. y T P M P o A x （Ⅱ）T o M A x （Ⅰ） y T A y M A x M o x o P 由四个图看出：P T 当角?的终边不在坐标轴上时，有向线段OM?x,MP?y，于是有
3
sin??yyxx??y?MP，cos????x?OMOM，r1r1yMPATtan?????AT.
xOMOA我们就分别称有向线段MP,OM,AT为正弦线、余弦线、正切线.
我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT,分别叫做角?的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.
例1 已知
?4????2，试比较?,tan?,sin?,cos?的大小.
处理:师生共同分析解答,目的体会三角函数线的用处和实质. 例2 利用三角函数线比较下列各组数的大小：
1? sin
S2 S1 B P2 P1 A o 2?4?T2 ?sinsin 35，解： 如图可知：
T1 tan
2?4?2?4?与sin；2? tan与tan. 35352?4?? tan. 35课堂小结
(1)了解有向线段的概念.
(2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角?的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来.
(3)体会三角函数线的简单应用. 作业
1． 比较下列各三角函数值的大小(不能使用计算器)： (1)sin15、tan15；（2）cos15018、cos121；（3）2．练习三角函数线的作图. 3.见 同步练习 部分
4
???'???、tan.
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