(3)列车减速时,需在前方设置如图乙所示的一系列磁感应强度为B的匀强磁场区域,磁场宽度和相邻磁场间距均大于l。若某时刻列车的速度为v0,此时ab、cd均在无磁场区域,试讨论:要使列车停下来,前方至少需要多少块这样的有界磁场?
【典例6】（19年全国2卷）如图，两条光滑平行金属导轨固定，所在平面与水平面夹角为θ，导轨电阻忽略不计。虚线ab、cd均与导轨垂直，在ab与cd之间的区域存在垂直于导轨所在平面的匀强磁场。将两根相同的导体棒PQ、MN先后自导轨上同一位置由静止释放，两者始终与导轨垂直且接触良好。已知PQ进入磁场开始计时，到MN离开磁场区域为止，流过PQ的电流随时间变化的图像可能正确的是
A. B. C. D.
【变式训练6】如图所示，两平行的光滑金属导轨安装在一光滑绝缘斜面上，导轨间距为l、
足够长且电阻忽略不计，导轨平面的倾角为?，条形匀强磁场的宽度为d，磁感应强度大小为B、方
向与导轨平面垂直。长度为2d的绝缘杆将导体棒和正方形的单匝线框连接在一起组成“
”型装置，
总质量为m，置于导轨上。导体棒中通以大小恒为I的电流（由外接恒流源产生，图中未图出）。线框的边长为d（d < l），电阻为R，下边与磁场区域上边界重合。将装置由静止释放，导体棒恰好运动到磁场区域下边界处返回，导体棒在整个运动过程中始终与导轨垂直。重力加速度为g。 求：（1）装置从释放到开始返回的过程中，线框中产生的焦耳热Q； （2）线框第一次穿越磁场区域所需的时间t1 ；
（3）经过足够长时间后，线框上边与磁场区域下边界的最大距离?m 。
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模型22 双杆切割（解析版）
双金属棒在磁场中沿导轨做切割磁感线运动是个综合性很强的动态过程，聚力学和电学的重难点于一体，规律复杂。现进行归类分析。
【典例1】竖直放置的平行光滑导轨，其电阻不计，磁场方向如图所示，磁感应强度B=0.5 T，导体杆ab和cd的长均为0.2 m，电阻均为0.1 Ω，所受重力均为0.1 N，现在用力向上推导体杆ab，使之匀速上升(与导轨接触始终良好)，此时cd恰好静止不动，ab上升时下列说法正确的是
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A．ab受到的推力大小为2 N B．ab向上的速度为2 m/s
C．在2 s内，推力做功转化的电能是0.4 J D．在2 s内，推力做功为0.6 J 【答案】BC
【解析】因导体棒ab匀速上升，cd棒静止，所以它们都受力平衡，以两棒组成的整体为研究对象，根据平衡条件可得：ab棒受到的推力：F?2G?0.2N，A错误；对cd棒，受到向下的重力G和向上的安培力F安，由平衡条件得：F安?G，即：BIL?G，又I?B正确；在2 s内，电路产生的电能：Q?E2BLv2RG2?0.1?0.1m/s=2m/s，，联立得：v?22?2RBL0.32?0.2222R?BLv?t?2R?0.5?0.2?2?t?2?0.12?2J=0.4J，则在2 s内，
拉力做功，有0.4 J转化为电能，C正确；在2 s内拉力做的功为：W?Fs?Fvt?0.2?2?2J?0.8J，D错误。
【变式训练1】如图所示，相距为L的两条足够长的平行金属导轨右端连接有一定值电阻R，整个装置被固定在水平地面上，整个空间存在垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B，两根质量均为m，电阻都为R，与导轨间的动摩擦因数都为μ的相同金属棒MN、EF垂直放在导轨上。现在给金属棒MN施加一水平向左的作用力F，使金属棒MN从静止开始以加速度a做匀加速直线运动，若重力加速度为g，导轨电阻不计，最大静摩擦力与滑动摩擦力相等。则下列说法正确的是
A．从金属棒MN开始运动到金属棒EF开始运动经历的时间为t=
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3?mgR 22BLa
BaT2
B．若从金属棒MN开始运动到金属棒EF开始运动经历的时间为T，则此过程中流过电阻R的电荷量为
6R
C．若从金属棒MN开始运动到金属棒EF开始运动经历的时间为T，则金属棒EF开始运动时，水平拉力F 的瞬时功率为P=（ma+μmg）aT
D．从金属棒MN开始运动到金属棒EF开始运动的过程中，两金属棒的发热量相等 【答案】AB
【解析】MN匀加速运动，切割磁感线，产生感应电动势E?BLv?BLat，此时EF和定值电阻R并联构成外电路，并联电阻为
RE1，电源内阻为R，路端电压即EF的电压U??BLat，经过EF的电流233UBLatB2L2atB2L2atI??，受到安培力F?BIL?，当EF开始运动时，??mg，求得时间
R3R3R3R3?mgR，选项A对。若从金属棒MN开始运动到金属棒EF开始运动经历的时间为T，则MN移动的22BLa112BaT2??BxBaT2，EF和定值位移为x?aT，通过整个电路的电荷量2q?I?t???t???21.5R?t1.5R1.5R3Rt?qBaT2电阻并联，电阻相等，所以流过电阻R的电荷量?，选项B对。EF开始运动时，经过MN的电流
26REBLaTB2L2aT?为I'?，受到安培力F'?BI'L?，根据牛顿第二定律F?F'??mg?ma，得拉1.5R1.5R1.5RB2L2aTB2L2aT力F??mg?ma?，瞬时功率为P?FaT?(?mg?ma?)aT，选项C错。从金属棒
1.5R1.5RMN开始运动到金属棒EF开始运动的过程中，MN电流为干路电流，而FE电流为支路电流，电流不等大，虽然电阻相等，时间相等，产生热量不等，选项D错误。
【典例2】如图所示,有一光滑的水平导电轨道置于竖直向上的匀强磁场中,导轨由宽度分别为2L、L的两部分组合而成。两导体棒ab、cd分别垂直两导轨水平放置,质量均为m、有效电阻均为R。现给ab一水平向左的初速度v0,导轨电阻不计且足够长,ab、cd最终都做匀速直线运动,已知cd离开宽轨,滑上无磁场的光滑圆弧轨道后上升的最大高度为h,重力加速度为g。从cd开始运动到cd离开磁场这一过程中,求:
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(1)ab开始运动瞬间cd所受安培力的大小和方向。 (2)ab做匀速运动时的速度大小。 (3)上述过程中闭合电路中产生的焦耳热。 【答案】(1)
水平向左 (2)2 (3)m-5mgh
【解析】(1)ab开始运动瞬间,产生的电动势E=BLv0 根据闭合电路的欧姆定律可得I=
根据右手定则可得电流方向为dbac,根据左手定则可知cd所受安培力方向水平向左,大小F安=BI·2L 解得F安=
。
(2)设cd滑上无磁场的光滑圆弧轨道时初速度为v1,则有mgh=m
cd和ab在导轨上最终做匀速运动时,此时闭合回路的磁通量不变,所以ab棒的速度v2=2v1 则v2=2
。
(3)由功能关系,有Q=-
得Q=m-5mgh。
【变式训练2】如图所示,两条平行的光滑金属导轨相距L=1 m,金属导轨由倾斜与水平两部分组成,倾斜部分与水平方向的夹角θ=37°,整个装置处在竖直向上的匀强磁场中。金属棒EF和MN的质量均为m=0.2 kg,电阻均为R=2 Ω,EF置于水平导轨上,MN置于倾斜导轨上,两根金属棒均与导轨垂直且接触良好。现在外力作用下使EF棒以速度v0=4 m/s向左匀速运动,MN棒恰能在倾斜导轨上保持静止状态。倾斜导轨上端接一阻值也为R的定值电阻,重力加速度g=10 m/s2,cos 37°=0.8,sin 37°=0.6。
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