只老虎中的一只吃掉，故有4种可能，按照分步乘法计数原理，故有4×4×4＝43＝64种． 方法二：本题相当于3个人住4间店． 【答案】 64
题型二 两个原理的应用
例3 (1)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A．243 B．252 C．261
D．279
【解析】 由分步乘法计数原理知：用0,1，…，9十个数字组成三位数(可有重复数字)的个数为9×10×10＝900，组成没有重复数字的三位数的个数为9×9×8＝648，则组成有重复数字的三位数的个数为900－648＝252，故选B. 【答案】 B
(2)7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)
33【解析】 解题的步骤为：先选人，再打包，再分天．结果为C67C6C3＝140.
【答案】 140
归纳小结3 在解决实际问题的过程中，并不一定是单一的分类或分步，而是可能同时应用两个计数原理，即分类时，每类的方法可能要运用分步完成，而分步时，每步的方法可能会采取分类的思想求．另外，具体问题是先分类后分步，还是先分步后分类，应视问题的特点而定．解题时经常是两个原理交叉在一起使用，分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步．
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变式3 (1)某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( ) A．30种
B．35种 C．42种
D．48种
1【解析】 方法一：分两种情况：①2门A,1门B，有C23C4＝12种选法；②1门A,2门B2有C13C4＝3×6＝18种，∴共有12＋18＝30种选法．
方法二：排除法：A类3门，B类4门，共7门，选3门，A，B各至少选1门，有
33C37－C3－C4＝35－1－4＝30种选法．故选A.
【答案】 A
(2)若将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( ) A．12种
B．18种 C．24种
D．36种
3种方法，再排第二列，有2种方法，【解析】 由分步乘法计数原理，先排第一列，有A3
故共有A33×2＝12种排列方法，选A. 【答案】 A
例4 如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，若要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种(用数字作答)．
1种着色方法； 【解析】 方法一：区域1有C4
1区域2有C13种着色方法；区域3有C2种着色方法；
区域4,5有3种着色方法(4与2同色有2种，4与2不同色有1种)．
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∴共有4×3×2×3＝72种不同着色方法．
方法二：本小题在各类资料上都能找到影子，但所给图形变化后，需要有敏锐的观察力．本题能较深刻地测试逻辑思维能力．
因区域1与其他四个区域都相邻，宜先考虑．区域1有4种涂法．若区域2,4同色，有3种涂色，此时区域3,5均有两种涂法，涂法总数为4×3×2×2＝48种；若区域2,4不同色，先涂区域2有3种方法，再涂区域4有2种方法．此时区域3,5也都只有1种涂法，涂法总数为4×3×2×1×1＝24种．因此涂法共有48＋24＝72种． 【答案】 72
归纳小结4 做为两个计数原理应用之一的“涂色问题”，曾是高考的热点，解决此类问题体现了两个原理的精髓．
变式4 若给一个各边不等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色，则不同的染色方法共有________种． 【解析】 方法一：如图，染五条边总体分五步，染每一边为一步．
当染边1时有3种染法，则染边2有2种染法．
(1)当3与1同色时有1种染法，则4有2种，5有1种，此时染法总数为3×2×1×2×1＝12(种)．
(2)当3与1不同色时，3有1种，①当4与1同色时，4有1种，5有2种；②当4与1不同色时，4有1种，5有1种．则此时有3×2×1×(1×2＋1×1)＝18(种)． 综合(1)、(2)，由分类加法计数原理，可得染法的种数为30种．
方法二：通过分析可知，每种色至少要涂1次，至多只能涂2次，即有一色涂1次，剩余
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1C1种涂法，涂2次的有2种涂法，故一共有2C1C1＝30两种颜色各涂2次．一次的有C3535
种涂法． 【答案】 30
本课总结：对于分类计数原理，要重点抓住“类”字，应用时要注意“类”及“类”之间的独立性和并列性，对于分步计数原理，要重点抓住“步”字，应用时要注意“步”与“步”之间的相依性和连续性，对于稍复杂问题，常常结合相关知识混合使用两个计数原理．
【课后练习】
1．从1到10的正整数中，任意抽取两个相加所得和为奇数的不同情形的种数是( ) A．10 B．15 C．20 答案 D
解析 当且仅当偶数加上奇数后和为奇数，从而不同情形有5×5＝25(种)．
2．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( ) A．5 答案 D
解析 分类考虑，当公比为2时，等比数列可为1,2,4；2,4,8，当公比为3时，可为1,3,9，3
当公比为时，可为4,6,9，将以上各数列颠倒顺序时，也是符合题意的，因此，共有4×2
2＝8个．
3．(2014·安徽理)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有( ) A．24对
B．30对 C．48对
D．60对
B．4 C．6
D．8
D．25
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