∵f(x)＝ln x－
x
， 1＋2x
2
11＋2x－2x4x＋3x＋1
∴f′(x)＝x－＝.
?1＋2x?2x?1＋2x?2∵x>0，∴4x2＋3x＋1>0，x(1＋2x)2>0. ∴当x>0时，f′(x)>0. ∴f(x)在(0，＋∞)内为增函数． 答案：增
9．已知函数f(x)＝x2－5x＋2ln x，则函数f(x)的单调递增区间是________．
2
2x2－5x＋222x－5x＋2
解析：对f(x)求导可得f′(x)＝2x－5＋＝(x>0)．令f′(x)＝＝
xxx
?2x－1??x－2?11
0，?和(2，>0(x>0)，解得x>2或0 1 0，?和(2，＋∞) 答案：??2?π?10．若f(x)＝xsin x＋cos x，则f(－3)，f??2?，f(2)的大小关系为________(用“<”表示)． 解析：由偶函数的定义知函数f(x)为偶函数， 因此f(－3)＝f(3)． 因为f′(x)＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x， π ，π?时，f′(x)≤0. 当x∈?2??π ，π?上是减函数， 所以f(x)在区间?2??π? 所以f??2?＞f(2)＞f(3)＝f(－3)． π?答案：f(－3)＜f(2)＜f??2? 11．已知函数f(x)＝1－ln x＋a2x2－ax(a∈R)，讨论函数f(x)的单调性． 解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， 2a2x2－ax－1?2ax＋1??ax－1?12 f′(x)＝－x＋2ax－a＝＝. xx①若a＝0，则f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减． 1 ②若a>0，则当x＝a时，f′(x)＝0， 1 当0 当x>a时，f′(x)>0. 第 9 页 共 12 页 11 0，?上单调递减，在?，＋∞?上单调递增． 故f(x)在??a??a?③若a<0，则当x＝－当0 时，f′(x)＝0， 2a 1 时，f′(x)<0； 2a 1 时，f′(x)>0. 2a 11 0，－?上单调递减，在?－，＋∞?上单调递增． 故f(x)在?2a???2a?综上所述，当a＝0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减； 110，a?上单调递减，在?a，＋∞?上单调递增； 当a>0时，f(x)在?????11 0，－?上单调递减，在?－，＋∞?上单调递增． 当a<0时，f(x)在?2a???2a?1 12．已知函数f(x)＝aln x＋x2＋(a＋1)x＋3. 2(1)当a＝－1时，求函数f(x)的单调递减区间； (2)若函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围． 1 解：(1)当a＝－1时，f(x)＝－ln x＋x2＋3，定义域为(0，＋∞)， 2x2－11 则f′(x)＝－＋x＝. xx ??f′?x?＜0， 由?得0＜x＜1. ?x＞0，? 所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1)． (2)法一：因为函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数， a 所以f′(x)＝＋x＋a＋1≥0在(0，＋∞)上恒成立， x 所以x2＋(a＋1)x＋a≥0，即(x＋1)(x＋a)≥0在(0，＋∞)上恒成立． 因为x＋1＞0，所以x＋a≥0对x∈(0，＋∞)恒成立， 所以a≥0，故实数a的取值范围是[0，＋∞)． 法二：因为函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数， a 所以f′(x)＝x＋x＋a＋1≥0在(0，＋∞)上恒成立， 即x2＋(a＋1)x＋a≥0在(0，＋∞)上恒成立． 令g(x)＝x2＋(a＋1)x＋a， 因为Δ＝(a＋1)2－4a≥0恒成立， 第 10 页 共 12 页 a＋1??－≤0，2所以?即a≥0， ??g?0?≥0，所以实数a的取值范围是[0，＋∞)． B级——创高分自选 f?x?1．(2018·广东一模)已知函数y＝x在其定义域上单调递减，则函数f(x)的图象可能是 e( ) f?x? 解析：选A ∵函数y＝x在其定义域上单调递减， e f′?x?－f?x?f?x? ∴?ex?′＝≤0在定义域上恒成立，且不恒为0，即f(x)≥f′(x)恒成立．结 ex??合图象知A正确． 2．(2018·南昌摸底)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，设函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意x>0都有2f(x)＋xf′(x)>0成立，则( ) A．4f(－2)<9f(3) C．2f(3)>3f(－2) B．4f(－2)>9f(3) D．3f(－3)<2f(－2) 解析：选A 设g(x)＝x2f(x)?g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)]，则当x>0时，g′(x)>0，所以g(x)在(0，＋∞)上是增函数，易得g(x)是偶函数，则4f(－2)＝g(－2)＝g(2) 3．已知函数f(x)＝ex－ax－1. (1)求f(x)的单调递增区间； (2)是否存在实数a，使f(x)在(－2,3)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：f′(x)＝ex－a， (1)若a≤0，则f′(x)＝ex－a>0， 即f(x)在R上单调递增； 第 11 页 共 12 页 若a>0，令ex－a≥0，解得x≥ln a. 即f(x)在[ln a，＋∞)上单调递增， 因此当a≤0时，f(x)的单调递增区间为R， 当a>0时，f(x)的单调递增区间是[ln a，＋∞)． (2)存在实数a满足条件． 因为f′(x)＝ex－a≤0在(－2,3)上恒成立， 所以a≥ex在(－2,3)上恒成立． 又因为－2 － 当a＝e3时，在(－2,3)上f′(x)＝ex－e3<0， 即f(x)在(－2,3)上单调递减，所以a≥e3. 故存在实数a∈[e3，＋∞)，使f(x)在(－2,3)上单调递减． 第 12 页 共 12 页
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