w5- 2-§5 随机变量的函数的分布 - 图文 

三、内容小结:

这一节我们介绍了随机变量函数的分布。

1、离散型随机变量函数的分布 2、连续性随机变量函数的分布

对于连续型随机变量，在求 Y= g (X) 的分布时，关键的一步是把事件 { g(X)≤ y } 转化为X在一定范围内取值的形式，从而可以利用 X 的分布来求 P { g(X)≤ y }。

1、离散型随机变量 设随机变量X的分布律为

X pk

x1 p1

x2 p2

… …

k pk

… …

设Y=g(X)，由已知函数g(x)可求出随机变量Y的所有可能取值，则Y的分布列为:

X Y

x1 g(x1)

x2 g(x2)

… …

xk g(xk)

… …

Pk p1 p2 pk

1、离散型随机变量 设随机变量X的分布律为

Y=g(X)，

X

x1

x2

… …

xk

… …

Y Pk

g(x1) p1

g(x2) p2

g(xk) pk

如果g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当并项即可。则Y的分布律为：

P(Y?yi)?k:g(xk)?yi?pk,i?1,2,...2、连续型随机变量 【定理】

fX(x),???x??, 设随机变量X具有概率密度

g?(x)?0或恒有 又设函数 g(x)处处可导且恒有 (

g?(x)?0),则 Y?g(X)是连续型随机变量,其概率

密度为：

'??fX[h(y)]h(y),??y??fY(y)???其它?0,??min(g(??),g(?))??max(g(??),g(?))其中 ,

h(y)是 g(x)的反函数。

【定理】

fX(x),???x??, 设随机变量X具有概率密度

g?(x)?0或恒有 又设函数 g(x)处处可导且恒有 (

g?(x)?0),则 Y?g(X)是连续型随机变量,其概率

密度为：

'??fX[h(y)]h(y),??y??fY(y)???其它?0,(1) 检验函数 y = g(x) 是否是严格单调的 注意：

（一般可利用 g`(x)来检验), 否则不能用该公式.