西南大学18年12月[0775]《中学几何研究》大作业答案

西南大学网络与继续教育学院课程考试试题卷 类别：网教 专业：数学教育 2018年12月 课程名称【编号】：中学几何研究【0775】 A卷 大作业 满分：100分 一、证明题（每小题20分，共60分） 1．如图，设P为?ABC的内点，过P作AB、BC、CA的平行线FG、DE、HK，它们与?ABC的三边构成小三角形的面积为S1?S?PKD，S2?S?PFH，S3?S?PEG，令S?S?ABC，求证： S? ?SS2?S3． 1??2二、尺规作图题（每小题10分，共20分，只写作法，不用证明。） 1．已知线段a，b，求作x?ab。 作法： （1） 作线段AB=a+b （2） 做线段AB的黄金分割点P(AP>BP) ∴ 线段AP=x 2．已知O，求作O的外切正方形。 作法： （1）作圆的两条互相垂直的直径AB与CD, （2）过直径的端点A,B,C,D分别作两直径的垂线 （3）四条垂线围成的四边形就是所求作的正方形。 2. 证明三角形三高线共点。 利用塞瓦定理： 设三边AB，BC，AC的垂足分别为D，E，F,根据塞瓦定理逆定理,因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA)/[(CD*ctgB)]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(AE*ctgB)]=1,所以三条高CD、AE、BF交于一点. 3. P是等边△ABC内一点，PA＝5，PB＝4，PC＝3，求等边三角形的边长。 三、叙述并证明西姆松定理.（20分） 西姆松定理：△ABC外一点P在三角形外接圆上的充分必要条件是该点在三角形三边所在直线上的射影（垂足）共线。 - 1 -

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