2222dB15?NIbx3?NIbx00（3） ??? 222722252dx2(b?x)2(b?x)15?0NIb2(d?x)23?0NIb2 ?227222522[b?(d?x)]2[b?(d?x)]225d41dBx令 ，有 ??0 ?0227222522x?d2[b?d4][b?d4]dx即 5d24?b2?d24
故解得 d?b
2.12 一条扁平的直导体带，宽为2a，中心线与z轴重合，通过的电流为I。证明在第一象限内的磁感应强度为 Bx???Ir?0I，
?By?0ln24?ar14?a细条带的电流dI? 式中
?、r1和r2如题2.12图所示。
?r 2 R r1 ?1 ?a I x a 题 2.12图
y dB ?2解 将导体带划分为无数个宽度为dx?的细条带，每一
P(x,y)
Idx?。由安培环路定理，可得位于x?处2a的细条带的电流dI在点P(x,y)处的磁场为
?0Idx??0dI?0Idx?dB???
4?a[(x?x?)2?y2]122?R4?aR则 dBx??dBsin????0Iydx?22
a4?a[(x?x?)?y]?0I(x?x?)dx?
dBy?dBcos??4?a[(x?x?)2?y2]
所以
??x?a??Ix0 Bx????arctan? ??22?4?a[(x?x?)?y]4?a?y??a?a?a?x???a?x???x?a??x?a?? ?0I??0I???arctan??arctan???arctan???????arctan????4?a?yy4?ayy????????????I?I?0(?2??1)??0? 4?a4?aaa?0I(x?x?)dx??0I?0I(x?a)2?y2?0Ilnr2 22By????ln[(x?x?)?y]?ln?22224?ar1?4?a[(x?x)?y]8?a8?a(x?a)?y?a?a2.13 如题2.13图所示，有一个电矩为p1的电偶极子，位于坐标原点上，另一个电矩为p2的电偶极子，位于矢径为r的某一点上。试证明两偶极子之间相互作用力为
?0Iydx?Fr?3p1p2(sin?1sin?2cos??2cos?1cos?2)
4??0r4
式中?1??r,p1?，?2??r,p2?，?是两个平面(r,p1)和(r,p2)间的夹角。并问两个偶极子在怎样的相对取向下这个力值最大？
解 电偶极子p1在矢径为r的点上产生的电场为
z E1?13(p1?r)rp1[?3] 4??0r5rp2? p1 ?1 r 2 所以p1与p2之间的相互作用能为
y
We??p2?E1??13(p1?r)(p2?r)p1?p2[?3] 54??0rr 因为?1??r,p1?，?2??r,p2?，则
r?p1rcos?1 p1?p2?r?p2rcos?2
又因为?是两个平面(r,p1)和(r,p2)间的夹角，所以有
(r?p1)?(r?p2)?r2p1p2sin?1sin?2cos? 另一方面，利用矢量恒等式可得
x 题 2.13图
(r?p1)?(r?p2)?[(r?p1)?r]?p2?[r2p1?(r?p1)r]?p2?r2(p1?p2)?(r?p1)(r?p2)
因
此
1[(r?p1)?(r?p2)?(r?p1)(r?p2)]?p1p2sin?1sin?2cos??p1p2cos?1cos?2 r2p1p2(sin?1sin?2cos??2cos?1cos?2) 于是得到 We?4??0r3(p1?p2)?故两偶极子之间的相互作用力为
p1p2d1sin?sin?cos??2cos?cos?(3)? ()1212q?4??0drr3p1p2(sin?1sin?2cos??2cos?1cos?2)
4??0r4 由上式可见，当?1??2?0时，即两个偶极子共线时，相互作用力值最大。 ?W Fr??e?r?cons?t2.14 两平行无限长直线电流I1和I2，相距为d，求每根导线单位长度受到的安培力Fm。 解 无限长直线电流I1产生的磁场为 B1?e?1?0I1 2?r直线电流I2每单位长度受到的安培力为 Fm12??I2ez?B1dz??e120?0I1I2 2?d?0I1I2 2?d式中e12是由电流I1指向电流I2的单位矢量。
同理可得，直线电流I1每单位长度受到的安培力为 Fm21??Fm12?e122.15 一根通电流I1的无限长直导线和一个通电流I2的圆环在同一平面上，圆心与导线的距离为d，如题2.15图所示。证明：两电流间相互作用的安培力为
Fm??0I1I2(sec??1)
这里?是圆环在直线最接近圆环的点所张的角。
解 无限长直线电流I1产生的磁场为
z I1B1?e??0I1 2?r a? 圆环上的电流元I2dl2受到的安培力为
o ?
?0I1I2 2?x由题2.15图可知 dl2?(?exsin??ezcos?)ad?
x?d?acos?
2??0aI1I2(?ezsin??excos?)d?? 所以 Fm??2?(d?acos?)0dFm?I2dl2?B1?dl2?eyd I2dl2 x
题2.15图
?0aI1I22?d2??0aI1I22?cos??e(??)??ex?0I1I2(sec??1) ?exd??x?222?aad?a2?0(d?acos?)2.16 证明在不均匀的电场中，某一电偶极子p绕坐标原点所受到的力矩为
r?(p??)E?p?E。
解 如题2.16图所示，设p?qdl(dl??1)，则电偶极子p绕坐标原点所受到的力矩为
T?r2?qE(r2)?r1?qE(r1)?
dldldldl(r?)?qE(r?)?(r?)?qE(r?)?
2222dldlqdldlqr?[E(r?)?E(r?)]?dl?[E(r?)?E(r?)]
22222当dl??1时，有
dldlE(r?)?E(r)?(??)E(r)
22dldlE(r?)?E(r)?(??)E(r)
22故得到
z q r2 dl T?r?(qdl??)E(r)?qdl?E(r)?
r?(p??)E?p?E
o x r ?q r1 y
题2.16 图
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