信息论与编码答案

由题意可知该二元信道的转移概率矩阵为：

?0.990.01? P????0.010.99?为一个BSC信道

所以由BSC信道的信道容量计算公式得到：

C?logs?H(P)?log2??pilogi?121?0.92bit/signpi1Ct?C?1000C?920bit/sect

3.4 求图中信道的信道容量及其最佳的输入概率分布.并求当e=0和1/2时的信道

容量C的大小。

X 0

1 1－e

Y 0

1 1

e e 2

1－e

2

00??1??,此信道为非奇异矩阵,又r=s,可利用方程组求解

e解: 信道矩阵P=01?e???e1－e??0?

?3j=1P(bj|ai)bj=?P(bj|ai)logP(bj|ai) (i=1,2,3)

j=13ìb1=0???í(1-e)b2+eb3=(1-e)log(1-e)+eloge ?????eb2+(1-e)b3=eloge+(1-e)log(1-e)解得b1=0

b2=b3=(1-e)log(1-e)+eloge

所以 C=log

?2j=log[20+2×2(1-e)log(1-e)+eloge]

bj=log[1+21-H(e)]=log[1+2(1-e)(1-e)ee]

ì11?1-C-C?P(b)=2b=2==1??1+2(1-e)(1-e)ee1+21-H(e)? ?ee?(1-e)e??P(b2)=2b2-C=í?1+2(1-e)(1-e)ee???P(b3)=2b3-C=P(b2)??????3而 P(bj)=?P(ai)P(bj|ai) (j=1,2,3)

i=1ìP(b1)=P(a1)???得íP(b2)=P(a2)(1-e)+P(a3)e ?????P(b3)=P(a2)e+P(a3)(1-e)1所以 P(a1)=P(b1)=

1+2(1-e)(1-e)ee(1-e)eee P(a2)=P(a3)=P(b2)=P(b3)=1+2(1-e)(1-e)ee当e=0时,此信道为一一对应信道,得

1 C=log3, P(a1)=P(a2)=P(a3)=

311当e=1/2时,得 C=log2, P(a1)=,P(a2)=P(a3)=

24

3.5 求下列二个信道的信道容量，并加以比较

?p??p??2???p??p??2?0?????（1）

?p??p??2?? （2）?p??p??02??

????其中p+p=1

解：

（1）此信道是准对称信道，信道矩阵中Y可划分成三个互不相交的子集 由于集列所组

?p??成的矩阵??p???p????2???,??而这两个子矩阵满足对称性，因此可直接利用准对??p?????2??2称信道的信道容量公式进行计算。 C1=logr-H(p1’ p2’ p3’)-

?NklogMk

k?1其中r=2,N1=M1=1-2? N2=2? M2=4? 所以 C1=log2-H(p??,p-ε,2ε)-(1-2?)log(1-2?)-2?log4?

=log2+(p??)log(p??)+(p-ε)log(p-ε)+2εlog2ε-(1-2ε)log(1-2ε)-2εlog4ε =log2-2εlog2-(1-2ε)log(1-2ε)+(p??)log(p??)+(p-ε)log(p-ε) =(1-2ε)log2/(1-2ε)+(p??)log(p??)+(p-?)log(p-?)

输入等概率分布时达到信道容量。

（2）此信道也是准对称信道，也可采用上述两种方法之一来进行计算。先采用准对称信

道的信道容量公式进行计算，此信道矩阵中Y可划分成两个互不相交的子集，由子

?p??集列所组成的矩阵为??p???C=logr-H(p-?,p-ε,2ε,0)-2p????2??，??p?????00??这两矩阵为对称矩阵 其中2???r=2,N1=M1=1-2? N2=M2=2?，所以

?NklogMk

k?1=log2+(p-?)log(p-?)+(p-ε)log(p-ε)+2εlog2ε-(1-2ε)log(1-2ε)-2εlog2ε =log2-(1-2ε)log(1-2ε)+( p-?)log(p-?)+(p-ε)log(p-ε) =(1-2ε)log2/(1-2ε)+2εlog2+(p-?)log(p-?)+(p-ε)log(p-ε) =C1+2εlog2

输入等概率分布（P（a1）=P（a2）=1/2）时达到此信道容量。比较此两信道容量，可得C2=C1+2εlog2

3-6 设有扰离散信道的传输情况分别如图3－17所示。求出该信道的信道容量。

X1/21/21/21/21/21/21/2Y1/2图3-17

00???0110?22? 解：?11?0022??11?00?22?1212对称信道

C?logm?H(Y|ai)

1?log4??2log2

2取2为底 C?1bit/符号

3-7 (1)

条件概率 ，联合概率，后验概率

111p(y0)?? ， p(y1)?? ，p(y2)??

326

（2） H(Y/X)=

（3）

当接收为y2，发为x1时正确，如果发的是x1和x3为错误，各自的概率为：

P(x1/y2)=，P(x2/y2)=，P(x3/y2)=

555113其中错误概率为： Pe=P(x1/y2)+P(x3/y2)=（4）平均错误概率为

（5）仍为0.733 （6）此信道不好

原因是信源等概率分布，从转移信道来看 正确发送的概率x1-y1的概率0.5有一半失真 x2-y2的概率0.3有失真严重 x3-y3的概率0 完全失真 （7）

H(X/Y)=

16Log(2)?110Log(5)?115Log??25?115?135??Log??Log(5)?Log??Log(10)?Log?????????1.301 21521010330103????????5?15?35?0.8

3. 8 设加性高斯白噪声信道中，信道带宽3kHz，又设{(信号功率+噪声功率)/

噪声功率}=10dB。试计算该信道的最大信息传输速率Ct。

解：