(2)如果过点(1，b)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数b的取值范围． 解：(1)f′(x)＝3x－1，∴f′(1)＝2. 故切线方程为y－0＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.
(2)设切点为(x0，x0－x0)，则切线方程为y－(x0－x0)＝f′(x0)(x－x0)． 又切线过点(1，b)，所以(3x0－1)(1－x0)＋x0－x0＝b， 即2x0－3x0＋b＋1＝0.
由题意，上述关于x0的方程有三个不同的实数解． 记g(x)＝2x－3x＋b＋1，则g(x)有三个不同的零点，
而g′(x)＝6x(x－1)，令g′(x)＝0得x＝0或x＝1，则结合图像可知g(0)g(1)<0即可，可得b∈(－1,0)．
16．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积是否为定值，若是，求此定值；若不是，说明理由．
7
解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，
41
当x＝2时，y＝. 2
3
2
3
2
2
3
3
3
2
bxb12a－＝，??22b又f′(x)＝a＋，所以?xb7
a＋??4＝4，2
??a＝1，
解得?
?b＝3.?
3
故f(x)＝x－. x(2)是定值，理由如下：
设P(x0，y0)为曲线y＝f(x)上任一点，
3?3?由f′(x)＝1＋2知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝?1＋2?(x－x0)，
x?x0?
3??3??即y－?x0－?＝?1＋2?(x－x0)．
?x0??x0?
6?6?令x＝0，得y＝－，得切线与直线x＝0的交点坐标为?0，－?.
x0
?x0?
令y＝x，得y＝x＝2x0，得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积S1?6?＝?－?·|2x0|＝6. 2?x0?
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.
[B级 难度题——适情自主选做]
?1?1．(2019·蚌埠质检)已知函数f(x)＝x?a－x?，曲线y＝f(x)上存在两个不同点，使?e?
得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，则实数a的取值范围是( )
A．(－e，＋∞)
2
B．(－e0)
2,
?1?C.?－2，＋∞? ?e?
－x?1?D.?－2，0?
?e?
－x解析：选D ∵曲线y＝f(x)上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，∴f′(x)＝a＋(x－1)e＝0有两个不同的解，即a＝(1－x)e有两个不同的解．设
y＝(1－x)e－x，则y′＝(x－2)e－x，∴当x<2时，y′<0，当x>2时，y′>0，则y＝(1－x)e
－x在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，∴x＝2时，函数y取得极小值－e.
－2
?1?－x又∵当x>2时总有y＝(1－x)e<0且f(0)＝1>0，∴可得实数a的取值范围是?－2，0?.故
?e?
选D.
2．(2019·山东名校调研)已知曲线y＝e取值范围是( )
A．[2ln 2－2，＋∞) C．(－∞，2ln 2－2]
B．(2ln 2，＋∞) D．(－∞，2ln 2－2)
x＋a与y＝x恰好存在两条公切线，则实数a的
2
??y＝kx＋b，
解析：选D 由题意可设直线y＝kx＋b(k>0)为它们的公切线，联立?2
??y＝x
可
得x－kx－b＝0，由Δ＝0，得k＋4b＝0 ①.由y＝e
22x＋a求导可得y＝e
x＋ax＋a，令e
x＋a＝k，可
得x＝ln k－a，∴切点坐标为(ln k－a，kln k－ak＋b)，代入y＝e
2
可得k＝kln k－ak＋b ②.联立①②可得k＋4k＋4ak－4kln k＝0，化简得4＋4a＝4ln k－k.令g(k)＝4ln k4
－k，则g′(k)＝－1，令g′(k)＝0，得k＝4，令g′(k)>0，得0 kk>4.∴g(k)在(0,4)内单调递增，在(4，＋∞)内单调递减，∴g(k)max＝g(4)＝4ln 4－4，且k→0时，g(k)→－∞，k→＋∞时，g(k)→－∞.∵有两条公切线，∴方程4＋4a＝4ln k－k有两解，∴4＋4a<4ln 4－4，∴a<2ln 2－2.故选D.
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