导数及其应用
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．曲线
y?x3?11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )
B．－3
C． 9
D．15
A．－9 【答案】C
2．曲线y?sinx(0?x?A． 1
3?)与两坐标轴所围成图形的面积为( ) 25B． 2 C． D． 3
2【答案】A
x－x
3．设a∈R，函数f(x)＝e＋a·e的导函数f′(x)，且f′(x)是奇函数．若曲线y＝f(x)的一条
3
切线的斜率是，则切点的横坐标为( )
2ln2ln2
A．－ B．－ln2 C． D．ln2
22【答案】D
4．由曲线
A．
y?x,y?x3围成的封闭图形面积为( )
B．
1 121 4C．
1 3D．
7 12【答案】A
5．设f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上的平均值是( )
f(a)?f(b) 2【答案】C
A．
B．?f(x)dx
abC．
1bf(x)dx 2?aD．
1bf(x)dx
b?a?a6．已知函数f(x)的定义域为(?2,2),导函数为f?(x)?2?cosx,且f(0)?0，则满足
f(1?x)?f(x?x2)＞0的实数x的取值范围为( )
A． (?1,1) C．
D．
B．
(?11，?2)
(1?2，1) (1?2,1?2)
【答案】C
7．由抛物线y?2x与直线y?x?4所围成的图形的面积是( )
A．18 【答案】A
B．38/3
C．16/3
D．16
28．设函数f(x)在区间[a,b]上连续，用分点a?x0?x1???xi?1?xi??xn?b，把区间[a,b] 等分成n个小区间，在每个小区间[xi?1,xi]上任取一点?i(i?1,2,?,n)，作和式S?f(?)?x?inni?1（其中?x为小区间的长度），那么Sn的大小( )
A．与f(x)和区间[a,b]有关，与分点的个数n和?i的取法无关 B． 与f(x)和区间[a,b]和分点的个数n有关，与?i的取法无关 C． 与f(x)和区间[a,b]和分点的个数n,?i的取法都有关。 D．与f(x)和区间[a,b]和?i取法有关，与分点的个数n无关 【答案】C
9．曲线y?x与直线
A．
2y?x所围成的平面图形绕x轴转一周得到旋转体的体积为( )
B．
1? 301? 15C．
2? 15D．
1? 6【答案】C
10．下列等于1的积分是( )
A．?10xdx
(x?1)dxB．?
011dx?C．
0111dx0D．2
?【答案】C
11．将函数y=2cosx(0≤x≤2π)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭的平面图形的面积是( ) A．4 【答案】D
12．曲线y?e?2x在点A(0,1)处的切线方程为( )
A． 3x?y?1?0 C． 3x?y?1?0 【答案】A
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．某同学由于求不出积分
B． 3x?y?1?0 D． 3x?y?1?0
xB．8 C． 2π D． 4π
?lnxdx的准确值，于是他采用“随机模拟方法”和利用“积分的几
何意义”来近似计算积分?lnxdx.他用计算机分别产生10个在[1,e]上的均匀随机数
1e1exi(1?i?10)和10个在[0,1]上的均匀随机数yi(1?i?10)，其数据记录为如下表的前两行.
则依此表格中的数据，可得积分
?e1lnxdx的一个近似值为 .
3【答案】(e?1)
514．
?20(3x2?k)dx?10,则k?
1【答案】1
15．已知f(x)为一次函数，且【答案】
f(x)?x?2?f(x)dx，则f(x)=_______.
0f(x)?x?1
16．求曲线y??x3?x2?2x与x轴所围成的图形的面积为 ．
37【答案】12
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
32f(x)?ax?bx的图象经过点M(1,4)，曲线在点M处的切线恰好与直线
17．已知函数
x?9y?0垂直。
(1）求实数a,b的值； (2）若函数【答案】（ 1）
f(x)在区间[m,m?1]上单调递增,求m的取值范围。
?f(x)?ax3?bx2的图象经过点M(1,4),
?a?b?4 ①式
f?(x)?3ax2?2bx,则f?(1)?3a?2b
1f?(1)?(?)??1,即3a?2b?99由条件 ②式
由①②式解得a?1,b?3
32?(x)?3x2?6xf(x)?x?3x,f(2），
?(x)?3x2?6x?0得x?0或x??2,f令
经检验知函数
f(x)在区间[m,m?1]上单调递增,则[m,m?1]????,?2???0,???，
?m?0或m?1??2,即m?0或m??3为所求m的取值范围。
18．已知f(x)?x3?3ax2?bx?a2(a?1)在x??1时的极值为0． (1）求常数a，b的值；（2） 求f(x)的单调区间．
?f'(?1)?3?6a?b?0??f(?1)??1?3a?b?a2?0??【答案】 (1) 由题易知
解得a = 2，b = 9.
'2f(x)?3x?12x?9
(2) f (x) = x3 + 6 x 2 + 9 x + 4，
'f(x)?0增区间为（-?，-3）和（-1，??）由
f'(x)?0减区间为（-3，-1）
19．已知f?x??xlnx,g?x??x?ax?x?2
.
32(1)求函数(2)求函数
f?x?的单调区间；
f?x?在 ?t,t?2? ?t?0?上的最小值；
'(3)对一切的x??0,???,2f?x??g?x??2恒成立,求实数a的取值范围．
''【答案】(1)f(x)?lnx?1,令f1??x??0,解得0?x?1,?f(x)单调递减区间是??0,?;
e?e? 令f'1??x??0,解得x?1,?f(x)单调递增区间是??,???;e?e?
1，t无解 e1111(ⅱ)0 eeee11(ⅲ)?t?t?2，即t?时，f(x)在[t,t?2]单调递增，f(x)min?f(t)?tlnt ee(2) (ⅰ)0 1?10?t??-e ?f(x)min?e，1?t?tlnt?e (2)由题意:2xlnx?3x?2ax?1?2 即2xlnx?3x?2ax?1 22?x??0,??? 31 x?22x 3x1设h?x??lnx?, ?22x可得a?lnx?
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