武汉大学大一上学期高数期末考试题

高数期末考试

一、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

13. 求微分方程xy??2y?xlnx满足

y(1)??19的

1. 2.

已知cosxcosx是f(x)的一个原函数,则?f(x)?dx?xx .

解.

四、 解答题（本大题10分）

14. 已知上半平面内一曲线y?y(x)(x?0)，过点(0,1)，

且曲线上任一点M(x0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线x?x0所围成面积的2倍与该点纵

n??lim12?n(cos2?n?cos2 . 2?n?1???cos2?)?nn坐标之和，求此曲线方程.

五、解答题（本大题10分）

?－x2arcsinx?11?x2dx?15. 过坐标原点作曲线y?lnx的切线，该切线与曲线

y?lnx及x 轴围成平面图形D.

(1) 求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所

得旋转体的体积V.

六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）

3. .

二、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共

16分)

1?x，?(x)?3?33x，则当x?1时（　　）1?x4.

.

（A）?(x)与?(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小；

设?(x)?（B）?(x)与?(x)是等价无穷小；

（C）?(x)是比?(x)高阶的无穷小； （D）?(x)是比?(x)高阶的无穷小.

1216. 设函数f(x)在?0,1?上连续且单调递减，证明对任意的

q1q?[0,1]，0?f(x)dx?q?f(x)dx0.

????0,?f(x)17. 设函数在上连续，且

0f(x)dx?0，

?5.

?0f(x)cosxdx?0.证明：在?0,??内至少存在两个

设f(x)?cosx(x?sinx),则在x?0处有(.

（A）f?(0)?2 （B）f?(0)?1（C）f?(0)?0 （D）f(x)不可导.

　)不同的点?1,?2，使f(?1)?f(?2)?0.（提示：设

xF(x)??f(x)dx0）

6. 若

F(x)??(2t?x)f(t)dt0x，其中f(x)在区间上(?1,1)二阶可导且f?(x)?0，则（ ）.

（A）函数F(x)必在x?0处取得极大值；

（B）函数F(x)必在x?0处取得极小值； （C）函数F(x)在x?0处没有极值，但点(0,F(0))为曲线y?F(x)的拐点；

（D）函数F(x)在x?0处没有极值，点(0,F(0))也不是曲线y?F(x)的拐点。

7.

设f(x)是连续函数，且 f(x)?x?2?f(t)dt , 则f(x)?(0221)

xx?2（A）2 （B）2（C）x?1 （D）x?2. 8.

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）

x?yy?y(x)e?sin(xy)?1确定，求9. 设函数由方程

y?(x)以及y?(0).

1?x7求?dx.7x(1?x)10.

?x? 1?xe，　　x?0设f(x)??　求?f(x)dx．?32??2x?x，0?x?111.

112. 设函数f(x)连续，

limx?0g(x)??f(xt)dt0，且

f(x)?Ax，A为常数. 求g?(x)并讨论g?(x)在

x?0处的连续性.

解答

一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C

C1?21,C2?33

y?2?x12xe?e33

故所求曲线方程为：

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

五、解答题（本大题10分）

?1cosx2　()?c(x0,lnx0)，切线方程：615. 解：（1）根据题意，先设切点为e2x25. . 6..7. .

?8.3.

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导

ex?y(1?y?)?coxys(xy?)?(y? )y?(x)??ex?y?ycos(xy)ex?y?xcos(xy)x?0,y?0?(0)??1 ，y 10. 解：u?x7　　7x6dx?du 原式?1(1?u)1127?u(1?u)du?7?(u?u?1)du

?17(ln|u|?2ln|u?1|)?c ?1ln|x7|?2ln|1?x777|?C

111. 解：??3f(x)dx??0?3xe?xdx??102x?x2dx ??0?3xd(?e?x)??101?(x?1)2dx ????xe?x?e?x?00?2?3????cos?d?(　令x?1?sin?)2 ??4?2e3?10

12. 解：由f(0)?，知g(0)?0。

x1(u)dug(x)?f(xt)dtxt??u?f0

?0x (x?0)

xxf(x)?u)du0

g?(x)??f(x2 (x?0)

xdu?lim?f(u)0

g?(0)x?0?limf(x)Ax2x?02x?2

xxf(x)?(u)dulimg?(x)?lim?f0 x?0x?0x2?A?AA2?2，g?(x)在

x?0处连续。

dy13. 解：dx?2xy?lnx

y?e??2xdx(?e?2xdxlnxdx?C)

?1 3xlnx?1x?Cx?2 9

y(1)??19C,?，

0y?13xlnx?19x 四、 解答题（本大题10分） 14. 解：由已知且y??2?x0ydx?y，

将此方程关于x求导得y???2y?y?

特征方程：r2?r?2?0 解出特征根：

r1??1,r2?2.

其通解为 y?C1e?x?C2x2e

代入初始条件y(0)?y?(0)?1，得

y?lnx10?x(x?x0)0 1由于切线过原点，解出xe，从而切线方程为：y?0?ex 1A?(ey?ey)dy?1e?1则平面图形面积?02 （2）三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1，则

V121?3?e?ln 曲线yx与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2 1V2???(e?ey)2dy0D绕直线x = e 旋转一周

所得旋转体的体积V?V1?V2??6(5e2?12e?3)六、证明题（本大题有2小题，每小题 4分，共12分）

16. 证明：q1?f(x)dx?q0?f(x)dx0qq1??f(x)dx?q(?f(x)dx??f(x)dx)00q

q1?(1?q)?f(x)dx?q?f(x)dx0q

?1?[0,q]?2?[q,1]f(?1)?f(??2)?q(1?q)f(?1)?q(1?q)f(?2)0故有：

q1?f(x)dx?q?f(x)dx00 证毕。

17.

xF(x)?证：构造辅助函数：?f(t)dt,0?x??0。其满足在

[0,?]上连续，在(0,?)上可导。F?(x)?f(x)，且F(0)?F(?)?0由题 设，有

???0??f(x)cosxdx??cosxdF(x)?F(x)cosx|?0??sinx?F(x)dx000，

?F(x)sinxdx?0有?0，由积分中值定理，存在??(0,?)，使

F(?)sin??0即F(?)?0

综上可知F(0)?F(?)?F(?)?0,??(0,?).在区间[0,?],[?,?]上分别应用罗尔定理，知存在

?1?(0,?)和?2?(?,?)，使F?(?1)?0及F?(?2)?0，即f(?1)?f(?2)?0.