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2013年高考数学压轴题系列训练六
1． 如图，设抛物线C:y?x的焦点为F，动点P在直线l:x?y?2?0上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.
（1）求△APB的重心G的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB.
2．设A、B是椭圆3x?y??上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.
（Ⅰ）确定?的取值范围，并求直线AB的方程；
（Ⅱ）试判断是否存在这样的?，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由.
3． 已知不等式
2221111?????[log2n],其中n为大于2的整数，[log2n]表示不超过log2n的最大23n2nan?1,n?2,3,4,?
n?an?1整数. 设数列{an}的各项为正，且满足a1?b(b?0),an? （Ⅰ）证明an?2b,n?3,4,5,?
2?b[log2n]（Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当n?N时，对任意b>0，都有an?
1. 5学习必备 欢迎下载
4．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若点P为l上的动点，求∠F1PF2最大值．
5．已知函数f?x?和g?x?的图象关于原点对称，且f?x??x2?2x． (Ⅰ)求函数g?x?的解析式； (Ⅱ)解不等式g?x??f?x??x?1；
(Ⅲ)若h?x??g?x???f?x??1在??1,1?上是增函数，求实数?的取值范围．
6．(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分. 对定义域分别是Df、Dg的函数y=f(x) 、y=g(x), f(x)·g(x) 当x∈Df且x∈Dg 规定: 函数h(x)= f(x) 当x∈Df且x?Dg g(x) 当x?Df且x∈Dg
(1) 若函数f(x)=
1,g(x)=x2,x∈R,写出函数h(x)的解析式; x?1(2) 求问题(1)中函数h(x)的值域;
(3)若g(x)=f(x+α), 其中α是常数,且α∈[0,π],请设计一个定义域为R的函数y=f(x),及一个α的值,使得h(x)=cos4x,并予以证明.
2010年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解六
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1． 如图，设抛物线C:y?x的焦点为F，动点P在直线l:x?y?2?0上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.
（1）求△APB的重心G的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB.
22解：（1）设切点A、B坐标分别为(x,x0)和(x1,x1)((x1?x0)，
2∴切线AP的方程为：2x0x?y?x0?0;
2 切线BP的方程为：2x1x?y?x1?0; 解得P点的坐标为：xP?2x0?x1,yP?x0x1 2x0?x1?xP?xP，
32所以△APB的重心G的坐标为 xG?2y0?y1?yPx0?x12?x0x1(x0?x1)2?x0x14xP?ypyG????,
3333所以yp??3yG?4xG，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：
21x?(?3y?4x2)?2?0,即y?(4x2?x?2).
3 （2）方法1：因为FA?(x0,x0?),FP?(由于P点在抛物线外，则|FP|?0.
214x0?x1112,x0x1?),FB?(x1,x1?). 244x0?x11112?x0?(x0x1?)(x0?)x0x1?FP?FA44?4, ?2∴cos?AFP?1|FP||FA||FP|22|FP|x0?(x0?)24x0?x11112?x1?(x0x1?)(x1?)x0x1?FP?FB244?4, ?同理有cos?BFP?1|FP||FB||FP|22|FP|x1?(x1?)24∴∠AFP=∠PFB.
方法2：①当x1x0?0时,由于x1?x0,不妨设x0?0,则y0?0,所以P点坐标为(x1,0)，则P点到2学习必备 欢迎下载
直线AF的距离为：d1?即(x12?)x?x1y?|x1|1;而直线BF的方程:y??24x12?x114x,
141x1?0. 4x1x1|x||(x12?)1?1|(x12?)1424?42?|x1| 所以P点到直线BF的距离为：d2?1221222x?(x1?)?(x1)144所以d1=d2，即得∠AFP=∠PFB.
114(x?0),即(x2?1)x?xy?1x?0, ②当x1x0?0时，直线AF的方程：y??0004x0?0442x0?114(x?0),即(x2?1)x?xy?1x?0, 直线BF的方程：y??1114x1?044x12?所以P点到直线AF的距离为：
x?x11x?x111222|(x0?)(0)?x0x1?x0||0)(x0?)42424?|x0?x1|，d1??同理可得到P点到直线
122122x0?(x0?)2?x044BF的距离d2?|x1?x0|，因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB. 2222．设A、B是椭圆3x?y??上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.
（Ⅰ）确定?的取值范围，并求直线AB的方程；
（Ⅱ）试判断是否存在这样的?，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由.
（Ⅰ）解法1：依题意，可设直线AB的方程为y?k(x?1)?3,代入3x?y??，整理得
22(k2?3)x2?2k(k?3)x?(k?3)2???0. ①
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程①的两个不同的根， ∴??4[?(k?3)?3(k?3)]?0, ② 且x1?x2?222k(k?3),由N（1，3）是线段AB的中点，得 2k?3学习必备 欢迎下载
x1?x2?1,2?k(k?3)?k2?3.
解得k=－1，代入②得，??12,即?的取值范围是（12，+∞）. 于是，直线AB的方程为y?3??(x?1),即x?y?4?0. 解法2：设A(x1,y1),B(x2,y2),则有
22??3x1?y1?? ??(x1?x2)(x1?x2)?(y1?y2)(y1?y2)?0. 22??3x2?y2?? 依题意，x1?x2,?kAB??3(x1?x2).
y1?y2∵N（1，3）是AB的中点， ∴x1?x2?2,y1?y2?6,从而kAB??1. 又由N（1，3）在椭圆内，∴??3?1?3?12, ∴?的取值范围是（12，+∞）.
直线AB的方程为y－3=－（x－1），即x+y－4=0.
（Ⅱ）解法1：∵CD垂直平分AB，∴直线CD的方程为y－3=x－1，即x－y+2=0，
代入椭圆方程，整理得 4x2?4x?4???0.
又设C(x3,y3),D(x4,y4),CD的中点为C(x0,y0),则x3,x4是方程③的两根， ∴x3?x4??1,且x0?2211313(x3?x4)??,y0?x0?2?,即M(?,). 22222于是由弦长公式可得 |CD|?1?(?)?|x3?x4|?1k22(??3). ④
将直线AB的方程x+y－4=0，代入椭圆方程得4x2?8x?16???0 ⑤ 同理可得 |AB|?1?k2?|x1?x2|?∵当??12时，2(??3)?2(??12). ⑥
2(??12),?|AB|?|CD|
假设存在?>12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心.
13|???4||x?y0?4|32?22?. ⑦ 点M到直线AB的距离为 d?0222
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