第四节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单
应用
[备考方向要明了]
考 什 么 1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数怎 么 考 1.以选择题的形式考查三角函数的图象变换及由图象确定解析式等，如2012年浙江T4等． 2.与三角恒等变换相结合考查y＝Asin(ωx＋φ)的性质及简单应用且以解答题的形式考查，如2012年安徽T16等. A，ω，φ对函数图象变化的影响． 2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.
[归纳·知识整合]
1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 2π ω频率 1ω相位 初相 A T＝f＝＝ ωx＋φ T2πφ 2．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
x ωx＋φ －φ ω－φπ＋ ω2ωπ 2π－φ ωπ 3πφ－ 2ωω3π 2－A 2π－φ ω2π 0 y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 0 1
[探究] 1.用五点法作y＝Asin(ωx＋φ)的图象，应首先确定哪些数据？
π3π
提示：先确定ωx＋φ，即先使ωx＋φ等于0，，π，，2π，然后求出x的值．
223．函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的步骤 法一 法二
[探究] 2.在图象变换时运用“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”两种途径，向左或向右平移的单位个数为什么不一样？
?φ?提示：可以看出，前者平移|φ|个单位，后者平移??个单位，原因在于相位变换和?ω?
周期变换都是针对变量x而言的，因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误．
[自测·牛刀小试]
?π??π?1．(教材习题改编)为了得到函数y＝3sin?x－?的图象，只要把函数y＝3sin?x＋?5?5???
的图象上所有的点( )
π
A．向右平行移动个单位长度
5π
B．向左平行移动个单位长度
52π
C．向右平行移动个单位长度
52π
D．向左平行移动个单位长度
5
2?π?π????x－π?＋?， x－解析：选C ∵y＝3sin?＝3sin??5?????5?5?
2
?π??π?∴要得到函数y＝3sin?x－?的图象，应把函数y＝3sin?x＋?的图象上所有点向右
5?5???
2
平行移动π个单位长度．
5
π??2．(教材习题改编)y＝2sin?2x－?的振幅、频率和初相分别为( ) 4??1π
A．2，，－
π41πC．2，，－
π8
B．2，D．2，
1π
，－ 2π41π，－ 2π8
π??解析：选A 由振幅、频率和初相的定义可知，函数y＝2sin?2x－?的振幅为2，周
4??1π
期为π，频率为，初相为－. π4
π
3．将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横
10坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )
π??A．y＝sin?2x－? 10??
π??B．y＝sin?2x－?
5??
?1π?C．y＝sin?x－?
?210??1π?D．y＝sin?x－? ?220?
π?π?解析：选C 将y＝sin x的图象向右平移个单位得到y＝sin?x－?的图象，再将图10?10?
?1π?象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到y＝sin?x－?的图象． ?210?
π
4．将函数y＝sin(2x＋φ)(0≤φ≤π)的图象向左平移个单位后，所得的函数恰好6是偶函数，则φ的值是________．
π
解析：函数y＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位后，
6
ππππ??得y＝sin?2x＋＋φ?，则＋φ＝kπ＋.又0≤φ≤π，故φ＝. 3326??π
答案： 6
5．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A、ω、φ为常数，A>0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.
T?π??2?
解析：由函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象可知：＝?－?－?－π?
2?3??3?
3
π＝， 3
2则T＝π.
3
2π2
∵T＝＝π，∴ω＝3.
ω3答案：3
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
π??[例1] 已知函数y＝2sin?2x＋?， 3??(1)求它的振幅、周期、初相；
(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；
π??(3)说明y＝2sin?2x＋?的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到．
3??π?2ππ?[自主解答] (1)y＝2sin?2x＋?的振幅A＝2，周期T＝＝π，初相φ＝.
3?23?π?π?(2)令X＝2x＋，则y＝2sin?2x＋?＝2sin X.
3?3?列表，并描点画出图象：
x X y＝sin X y＝2sin?2x＋? 3－π 6π 12π 21 2 π 3π 0 0 7π 123π 2－1 －2 5π 62π 0 0 0 0 ??π??0
π?π?(3)法一：把y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位，得到y＝sin?x＋?的图
3?3?
4
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