函数f(x)的值域为[－23，23]． 83
(2)因为f(x0)＝，
5由(1)有f(x0)＝23sin?即sin?
?πx0＋π?＝83，
?53??4
?πx0＋π?＝4.
?3?5?4
?102?由x0∈?－，?，
?33?
知
πx0π?ππ?＋∈?－，?， 43?22?
所以cos?
?πx0＋π?＝
?3??4?4?23
1－??＝. ?5?5
故f(x0＋1)＝23sin?
?πx0＋π＋π?
43??4?
πx0π?π???＋?＋? ＝23sin??3?4???4＝23?sin?
?
?
?πx0＋π?cosπ＋cos?πx0＋π?sinπ?
?4?3?3?44??4???
232?76?4
＝23?×＋×?＝. ?5252?5—————
—————————————— 解决三角函数图象与性质的综合问题的方法
认识并理解三角函数的图象与性质是解决此类问题的关键．此类问题往往先用三角恒等变换化简函数解析式，再来研究其性质，因此对三角恒等变换的公式应熟练掌握．
ππ??3．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R?其中A＞0，ω＞0，－＜φ＜?，其部分
22??图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)已知横坐标分别为－1、1、5的三点M、N、P都在函数f(x)的图象上，求sin∠MNP的值．
9
解：(1)由图可知，
2ππ
最小正周期T＝4×2＝8，所以T＝＝8，ω＝.
ω4ππ?π?又f(1)＝sin?＋φ?＝1，且－＜φ＜， 22?4?ππ3ππππ
所以－＜＋φ＜，所以＋φ＝，φ＝.
444424π
所以f(x)＝sin(x＋1)．
4
π
(2)因为f(－1)＝sin(－1＋1)＝0，
4
f(1)＝sin(1＋1)＝1，f(5)＝sin(5＋1)＝－1，
所以M(－1,0)，N(1,1)，P(5，－1)， 所以|MN|＝5，|MP|＝37，|PN|＝20， 5＋20－373
从而cos∠MNP＝＝－，
525×20由∠MNP∈(0，π)，
42得sin∠MNP＝1－cos∠MNP＝. 5
1个区别——两种图象变换的区别
由y＝sin x的图象变换到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移|φ|的量是(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减
ω多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．
2个注意——作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象应注意的问题 (1)首先要确定函数的定义域；
(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象．
3种方法——由函数图象求解析式的方法
方法一 如果从图象可确定振幅和周期，则可直接确定函数表达式y＝Asin(ωx＋φ)中的参数A和ω，再选取“第一零点”(即五点作图法中的第一个点)的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ.
方法二 通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.依据是五点
π
4π4
10
法．
方法三 运用逆向思维的方法，根据图象变换可以确定相关的参数.
答题模板——由三角函数图象确定解析式
[典例] (2012·湖南高考)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝π??Asin(ωx＋φ)?x∈R，ω>0，0<φ
?2?
(1)求函数f(x)的解析式；
?π??π?(2)求函数g(x)＝f?x－?－f?x＋?的单调递增区间．
?12??12?
[快速规范审题]
第(1)问
1．审条件，挖解题信息
可知图象与y轴的交点及两个平衡点
观察条件：函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象―――――――――――――――→ ―(0,1)，?可确定周期?5π，0?，?11π，0?―?11π－5π?＝π.
―――――→T＝2????12 12??12??12???
2．审结论，明确解题方向
需要确定A，ω，φ三个参数
观察所求结论：求函数f(x)的解析式――――――――――――→应建立关于A，ω， φ的三个方程．
3．建联系，找解题突破口
5π由周期确定ω2π由平衡点确定φ结合条件和求解可知――――――――→＝π，即ω＝2―――――――→2×＋φ＝ ω12π＋2kπ，k∈Z，
π初步确定函数解析式?2x＋π? 即φ＝――――――――――――→f(x)＝Asin?? 6?6?π由点0，1确定A―――――――――→f(0)＝1?Asin＝1?A＝2 6π?A，ω，φ都已求出，解析式确定?―――――――――――――――→f(x)＝2sin?2x＋?.
?6?
第(2)问
1．审条件，挖解题信息
11
π??观察条件：f(x)＝2sin?2x＋?. 6??2．审结论，明确解题方向
化简gx的解析式?π??π?观察所求结论：求函数g(x)＝f?x－?－f?x＋?的单调递增区间―――――――――→?12??12?
g(x)＝2sin?2x－?.
3
??
π??
3．建联系，找解题突破口
ππ
联想函数y＝sin x的单调性???????????2kπ－2≤2x－3≤2kπ＋π5π?ππ5π??kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z?g(x)的单调递增区间是?kπ－，kπ＋?，k∈Z.
1212?21212?
[准确规范答题]
(1)由题设图象知，周期T＝2?2π
所以ω＝＝2.?(2分)
????单调递增区间为?2k??,2k???,k?z22???11π－5π?＝π， ?12??12
T5π
因为点(，0)在函数图象上，
12
易忽视φ的范围或点?5π??5π＋φ?＝0.
所以Asin?2×＋φ?＝0，即sin??12???6?
π5π5π4π又因为0<φ<，所以<＋φ<.
26635ππ
从而＋φ＝π，即φ＝.?(4分)
66又点(0,1)在函数图象上，所以
?5π＋0?为第二个平?12???衡点而导致解题错误. Asin ＝1，得A＝2.?(5分)
故函数f(x)的解析式为 π??2x＋f(x)＝2sin??.?(6分)
6??
π
6
??π?π???π?π?(2)g(x)＝2sin?2?x－?＋?－2sin?2?x＋?＋? ??12?6???12?6?
π??＝2sin 2x－2sin?2x＋??(7分)
3??3?1?
＝2sin 2x－2?sin 2x＋cos 2x?
2?2?
12
相关推荐：
loading