??π??9．(2013·苏州模拟)设f(x)＝asin 2x＋bcos 2x，其中a，b∈R，ab≠0，若f(x)≤?f?????6??
对一切x∈R恒成立，则
①f?
?11π?＝0；②?f?7π??＜?f?π??；③f(x)既不是奇函数也不是偶函数；④f(x)的
???10????5???12?????????
π2π??单调递增区间是?kπ＋，kπ＋?(k∈Z)；⑤存在经过点(a，b)的直线与函数f(x)的图
63??象不相交．
以上结论正确的是________(写出所有正确结论的编号)．
b??22
解析：f(x)＝asin 2x＋bcos 2x＝a＋bsin(2x＋φ)?其中tan φ＝?，因为对一切x?a?
π??π???π?∈R，f(x)≤?f???恒成立，所以sin?＋φ?＝±1，可得φ＝kπ＋(k∈Z)，故f(x)6??6???3?π???11π?＝±a2＋b2·sin?2×11π＋π?＝0，所以①正确；22
＝±a＋bsin?2x＋?.而f????6?126???12??
?f?7π??＝?a2＋b2sin47π?＝?a2＋b2sin17π?，?f?π??＝?a2＋b2sin17π?，所以??10????????????30??30???5???30??????
π??f?7π??＝?f?π??，?22
③明显正确；④错误；由函数f(x)＝a＋bsin?2x＋?和??10????5??故②错误；6??????????
f(x)＝－a2＋b2sin?2x＋?的图象可知(图略)，不存在经过点(a，b)的直线与函数f(x)6
??
π?
?
的图象不相交，故⑤错．
答案：①③
三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
的图象与y轴的交点为(0,1)，2
它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0＋2π，－2)．
(1)求函数f(x)的解析式及x0的值；
1
(2)若锐角θ满足cos θ＝，求f(4θ)的值．
3解：(1)∵由题意可得A＝2，＝2π，即T＝4π，
2∴
2π1＝4π，∴ω＝. ω2
T 17
?1
∴f(x)＝2sin?x＋φ
?2
?.由图象经过点(0,1)得， ??
π2
π6
f(0)＝2sin φ＝1，又|φ|＜，∴φ＝. ?1π?故f(x)＝2sin?x＋?.
6??2
π?1ππ2π?1
又f(x0)＝2sin?x0＋?＝2，∴x0＋＝2kπ＋(k∈Z)，∴x0＝4kπ＋(k∈Z)，
6?2623?22π
根据图象可得x0是最小的正数，∴x0＝.
3
π??(2)由(1)知，f(4θ)＝2sin?2θ＋?＝3sin 2θ＋cos 2θ. 6??122?π?∵θ∈?0，?，cos θ＝，∴sin θ＝，
2?33?
7422
∴cos 2θ＝2cosθ－1＝－，sin 2θ＝2sin θcos θ＝，
9942746746－7
∴f(4θ)＝3×－＝－＝.
99999
?xπ??xπ?11．已知函数f(x)＝23·sin?＋?cos?＋?－sin(x＋π)．
?24??24?
(1)求f(x)的最小正周期；
π
(2)若将f(x)的图象向右平移个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，
6π]上的最大值和最小值．
1?3??π?解：(1)因为f(x)＝3sin?x＋?＋sin x＝3cos x＋sin x＝2?cos x＋sin x?＝
2??2?2?
?π?2sin?x＋?，
3??
所以f(x)的最小正周期为2π.
π?π?(2)∵将f(x)的图象向右平移个单位，得到函数g(x)的图象，∴g(x)＝f?x－?＝
6?6?π?π7π???π?π??π?2sin??x－?＋?＝2sin?x＋?.∵x∈[0，π]，∴x＋∈?，?，
6?3?6?6?6?6???
πππ
∴当x＋＝，即x＝时，
623
?π?sin?x＋?＝1，g(x)取得最大值2. 6??
π7π1?π?当x＋＝，即x＝π时，sin?x＋?＝－，g(x)取得最小值－1.
6?662?
18
12．已知函数f(x)＝2acosx＋bsin xcos x－(1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)的单调递减区间；
2
33?π?1，且f(0)＝，f??＝. 22?4?2
(3)函数f(x)的图象经过怎样的平移才能使所得图象对应的函数成为奇函数？ 解：(1)∵由f(0)＝∴2a＝3，则a＝
2
333
，得2a－＝， 222
33b31?π?1
.由f??＝，得＋－＝，∴b＝1. 22222?4?2
3
2
∴f(x)＝3cosx＋sin xcos x－＝
π?31?cos 2x＋sin 2x＝sin?2x＋?， 3?22?
2π
∴函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
2
ππ3
(2)∵由＋2kπ≤2x＋≤π＋2kπ(k∈Z)，得
232π7
＋kπ≤x≤π＋kπ(k∈Z)， 1212∴f(x)的单调递减区间是?
?π＋kπ，7π＋kπ?(k∈Z)．
?12?12?
?π?(3)∵f(x)＝sin2?x＋?，
6??
π
∴奇函数y＝sin 2x的图象左移个单位，即得到f(x)的图象．故函数f(x)的图象右
6π
移个单位后对应的函数成为奇函数． 6
?π?1．为了得到函数y＝sin x＋cos x的图象，只需把y＝2sin?x－?的图象上所有的
4??
点( )
π
A．向左平移个单位
4π
C．向左平移个单位
2
π
B．向右平移个单位
4π
D．向右平移个单位
2
??π?π??π?解析：选C ∵y＝sin x＋cos x＝2sin?x＋?＝2sin??x＋?－?.
2?4?4????
19
∴y＝2sin???
x－π4??π?的图象向左平移2个单位，可得y＝sin x＋cos
x的图象．
2．函数f(x)＝Asin(2x＋φ)(A>0，φ∈R)的部分图象如图所示，那么f(0)＝( )
A．－1
2 B．－32
C．－1
D．－3
解析：选C ∵由图可知，A＝2，f??π?3???
＝2， ∴2sin??2π?3＋φ???＝2，∴sin??2π?3＋φ??
?
＝1，
∴
2π3＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，∴φ＝－π
6
＋2kπ(k∈Z)， ∴f(0)＝2sin φ＝2sin???－π6＋2kπ???＝2×??1?－2???
＝－1.
3．设函数f(x)＝sin ωx＋3cos ωx(ω＞0)的周期为π. (1)求它的振幅、初相；
(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；
(3)说明函数f(x)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到． 解：(1)f(x)＝sin ωx＋3cos ωx＝2??13?
?2sin ωx＋2cos ωx??
＝2sin???
ωx＋π3???.
又∵T＝π，∴2πω＝π，即ω＝2.∴f(x)＝2sin??π?2x＋3???，
∴函数f(x)＝sin ωx＋3cos ωx的振幅为2，初相为π
3.
(2)列出下表
2x＋ππ33 0 2 π 2π 2π x －πππ7π56 12 3 12 6π y＝2sin??π?2x＋3??? 0 2 0 －2 0 描点画出图象如图． 20
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