2015年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题及参考答案 - 图文

ＷＷｗ　ｚｈｏｎｇｓｈｕｃａｎ．ｃｏｉｎ　中学数学教学参考　２　０　１　５年全国高中数学联赛　陕西赛区　陕西省数学竞赛委员会　（２０１５年４月１９日上午８：３０—１１：００）　及　第一试　填空题（每小题５分，共５Ｏ分）　本题共有１Ｏ小题。要求直接将答案填在题中的　横线上。　１．已知集合Ａ一｛１，３，５，７，９｝，Ｂ一｛２，４，６，８，　１Ｏ），若集合Ｃ＝＝＝｛ｚＩｚ＝ａ＋ｂ，ｎ∈Ａ，ｂ∈Ｂ），则集合Ｃ　中元素的个数是　。　ｌ０．设单调递增数列｛口　｝的各项均为正整数，且　口７—１２０，口　ｚ：ｎ　＋口　＋１（　∈Ｎ＋），贝０　ａ８一　。　第二试　一、（本题满分１５分）　设等比数列｛口　）的前　项和为Ｓ　，且ｎ　一２Ｓ　１　＋÷（ｎ∈Ｎ＋）。　２．已知函数厂（ｚ）一｛　：　：：则，（，（　））　一。　——（Ｉ）求数列｛口　）的通项公式；　（Ⅱ）在口　与倪　＋　之间插入扎个实数，使这　＋２　３．已知ｓｉｎ　ａ＋√３ｓｉｎ卢一１，ＣＯＳ　ａ＋√３ＣＯＳ　一√３，　则ｃｏｓ（ａ－ｐ）的值为　。　４．在三棱锥Ｓ－ＡＢＣ中，ＡＢ：＝＝ＡＣ，ＳＢ—ＳＣ，则直　线ＳＡ与ＢＣ所成角的大小为　。　５．如图１，以双曲线　一　＝＝＝　“　个数依次组成公差为ｄ”的等差数列。设数列｛麦ｊ的　１［　前　项和为Ｔ　，求证：　＜　ｌ＿Ｏ，　∈Ｎ＋。　二、（本题满分１５分）　ｙ　设△ＡＢＣ的内角Ａ、Ｂ、Ｃ的对边分别为口、ｂ、Ｃ，　且满足ｓｉｎ　Ａ＋ｓｉｎ　Ｂ一（ＣＯＳ　Ａ＋ＣＯＳ　Ｂ）ｓｉｎ　Ｃ。　１（ａ＞０，６＞Ｏ）上一点Ｍ为圆心的　＼Ｌ，／　（工）求证：△ＡＢＣ为直角三角形；　圆与Ｘ轴恰好相切于双曲线的一　个焦点Ｆ，且与Ｙ轴交于Ｐ、Ｑ两　图１　点。若△ＭＰＱ为正三角形，则该　双曲线的离心率是　。　６．设０￣ｊ／ＫＡＢＣ的外心，且满足　＋　一　，　／ｏ’　（１Ｉ）若口＋ｂ＋Ｃ一１＋√２，求△ＡＢＣ面积的最　大值。　三、（本题满分１５分）　如图２，设Ｈ为锐角　△ＡＢＣ的垂心，过点Ｈ且垂　则　ＡＣＢ＝　。　直于ＢＨ的直线交ＡＢ于点　Ｄ，过点Ｈ且垂直于ＣＨ的　７．／ｋＡＢＣ中，ｔａｎ　＋ｔａｎ　一１，则ｔａｎ　的　最小值为　。　８．某人抛掷一枚硬币，出现正面向上和反面向上　直线交ＡＣ于点Ｅ，过点ｃ　且垂直于ＢＣ的直线交直线　ＤＥ于点Ｆ。求证：ＦＨ　—图２　的概率都是寺。构造数列｛ｎ　），使　ｆ１，第　次正面向上，　Ｉ一１，第　次反面向上。　记Ｓ　＝ａ　＋ａ２＋…＋ａ　，则Ｓ２≠ｏ且Ｓ８—２的概　ＦＣ。　四、（本题满分１５分）　如图３，在直角坐标系ｘＯｙ　中，圆０：ｚ　＋ｙ。一４与Ｘ轴的正　半轴交于点Ａ，以Ａ为圆心的圆　Ａ：（ｚ一２）。＋ｙ　一　（ｒ＞０）与圆　０交于Ｂ、Ｃ两点。　（Ｉ）求　?　的最小值；　ｙｌ　ｌ　率为　。（用最简分数作答）　：５。４。，则　９．若正整数　、　满足　ｍ！?　的值为　。　图３　中学数学教学参考　ｗ　＋ｚｈｏｎｇｓｈｕｃａｎ．ｃｏｒｎ　（Ⅱ）设Ｐ是圆０上异于Ｂ、Ｃ的任一点，直线　ＰＢ、ＰＣ与ｚ轴分别交于点Ｍ、Ｎ，求ｓ△删?ｓ△Ｐ０Ⅳ　的最大值。　五、（本题满分２Ｏ分）　由ｃ＝　．　，得２ａｃ＝Ｇ（　ｚ一。ｚ）。　ｎ　解得　一　，即双曲线的离心率为√３。　答案：　。　６．解：由　＋　：　知，四边形ＯＡＣＢ为平行　已知函数ｆ（　）一ｘｌｎ　ｚ，ｇ（ｚ）一一ｚ　＋。ｚ一　３，口∈Ｒ。　（Ｉ）若对任意ｚ∈（０，＋。。），不等式ｆ（．ｚ）≥　四边形。又１　ＯＡ　ｌ—ｌ　ＯＢ　ｌ一１　ＯＣ１，所以四边形ＯＡＣＢ　＿击－ｇ（ｚ）恒成立，求ｎ的取值范围；　（Ⅱ）证明：对任意ｚ∈（０，＋ＣＸＤ），有ｉｎ　ｚ＞　一　ｅ　ｅｘ。　六、（本题满分２Ｏ分）　设［ｚ］表示不超过实数　的最大整数。已知　一　十　＋南＋．．．＋　，ｋ＝ｌ＇２，…’求　和　ｋ＝ｌ（　＋［　＋　］）。　参考答案　第一试　填空题（每小题５分，共５０分）　１．解：因为ｎ为奇数，ｂ为偶数，所以集合ｃ中的　元素都是奇数。又ａ＋ｂ的最小值为３，最大值为１９，　且３与１９之间的奇数都可以取到，所以集合Ｃ中的　元素共有９个。　答案：９。　２．解：因为对任意ｚ∈Ｒ，都有ｆ（ｚ）≥０，所以　（ｆ（ｚ　一１。　答案：１。　３．解：已知两式平方相加，得４＋２√３（ｓｉｎ　ａ?　ｓｉｎ　Ｉ８＋ＣＯＳ　ＯｔＣＯＳ卢）一４。所以ｃｏｓ（￣－ｐ）一０。　答案：０。　４．解：如图４，取ＢＣ的　中点Ｍ，联结ＡＭ、ＳＭ。因　为ＡＢ—ＡＣ，ＳＢ：＝：ＳＣ，所以　ＡＭ上ＢＣ，ＳＭ上ＢＣ。故ＢＣ　ｊ＿平面ＳＡＭ，则ＢＣ上ＳＡ。　所以直线ＳＡ与ＢＣ所成的　角为＿芸－。　图４　Ｂ　答案：　。　５．解：因为圆Ｍ与　轴相切于双曲线的焦点Ｆ，　所以ｆ　ＭＦ　ｆ—ｂ２　＿，点Ｍ到　轴的距离为ｆ，从而，正　／ｋＭＰＱ的边长为　，边ＰＱ上的高为ｃ。　为菱形，Ｒ￣ＯＡＣ一　０Ｂｃ一号。故　ＡＣＢ一等。　答案：警。　７．解：因为ｔａｎ　＋ｔａｎ　Ｂ一１，所以　ｔａｎ导＝＝ｃＯｔ　一　ｎ——　一　ｎ一　兰　　十　ｎ　…　＿『ｔ生ａｎ￣－＋　ｔａｎ　１。　一　一（丢）　一旦　当且仅当ｔａｎ　Ａ—ｔａｎ　Ｂ一　１时，上式等号成立。　故ｔａｎ　的最小值为　。　答案：　３。　８．解：由Ｓ　４：０知，前两次都是正面向上或都是　反面向上。　当前两次都是正面向上时，由Ｓｓ一２知，后６次　中必有３次正面向上、３次反面向上，其概率为Ｐ　一　（丢）　ｃ　（专）　一　５。　当前两次都是反面向上时，由Ｓｓ一２知，后６次　中必有５次正面向上、１次反面向上，其概率为Ｐ。一　（专）　ｃ；（丢）　一去。　故Ｐ（Ｓ。≠ｏ且ｓ　一２）一Ｐ　＋Ｐ。一　。　答案：　１３。　９．解：因为　－（ｍ＋ｎ）（ｍ＋７ｌ一１）…??　所以｛＼　　十ｌ　，．　’解得ｆ（ｎ一＝６４ｏ’　故　！?　一１４４。　ｗｗｗ．ｚｈｏｎｇｓｈｕｃａｎ．ＣＯＩｔ／　中学数学教学参考　２０１５年第５期（上甸）　１０．解：由ａ　＋２一口　＋ｎ　＋１，得ａ７—５ａ１＋８ａ２，ａ８—　８　ｌ＋１３　２。　５＝：：————２ｎ＋５———————２　２?３　。　由ａ７—１２０，得５ｎ１＋８ａ２—１２０。　因为（５，８）一１，且ａ　、ａ　均为正整数，所以８ｌ　ａ　，　５ｊａ２。　所以　一萼一　等＜萼。　二、解法Ｉ：（Ｉ）因为ｓｉｎ　Ａ＋ｓｉｎ　Ｂ一（ＣＯＳ　Ａ＋　设ａ１—８ｋ，ｄ２—５ｍ，ｋ、ｍ∈Ｎ＋，则ｋ＋　一３。　又ａ１＜ｎ２，所以ｋ一１，　＝＝＝２，从而ａ１—８，ａ２—１０。　ＣＯＳ　Ｂ）ｓｉｎ　Ｃ，所以由正弦、余弦定理，得　ａ＋６一ｂ＋ｃ２－ａ２　ｃｚ＋ａ２－ｂ２）ｃ，　故口８—８ａ１＋１３ａ２—１９４。　答案：１９４。　第二试　一、（Ｉ）解法１：设等比数列｛ａ　）的公比为ｑ，则　由ａ　＋　＝２Ｓ　＋　１，得　口２＝２ｎ　＋　１（ｑ－－２）一　１，　，　一。　～一　一丢。　消去ａ　，得ｑ　－－３ｑ＝０，解得ｇ—Ｏ（舍），或ｇ一３。　从而ｎ　一妻。　故ｎ　一　１?３一　。　解法２：因为ｎ　＋　一２Ｓ　＋去（　≥１），所以＆　一　２Ｓ　一　＋÷（”≥２）。两式相减，得ｎ　＋　一。　一２（ｓ　一　Ｓ　一１）一２ａ　，且口ａ　＋１—３ａ　（７２≥２）。　因为｛ｎ　）是等比数列，所以对任意　∈Ｎ＋，有　ａ　＋ｌ　３ａ　。　又由已知，ａｚ一２口　＋　１所以３口　一２ｎ　＋　１，，即　１一　１　。　故ｎ　：：＝　１?３一　。　（ＩＩ）解：由题设得口　＋　一ａ　＋（　＋１）ｄ　，所以÷　一丝±　一—ｎ＋—ｌ　口　＋ｌ—ｎｎ　３　一　。　所以，　一２＋詈＋　＋…＋　，　则÷Ｔ　一号＋　＋．．斗　＋　，　相减得号　一２＋÷＋去＋…＋　一　２　．　÷（卜　）Ｊ　一÷　　ｎ十１３”　　化简整理，得（口＋６）（ａ。＋ｂ　）一（口＋６）ｃｚ。　因为ｎ＋６＞０，所以ｎ。＋ｂ　一Ｃ　。　故△ＡＢＣ为直角三角形，且　Ｃ一９０。　（Ⅱ）因为ａ＋ｂ＋Ｃ一１＋，／２，ａ　＋ｂ。一ｆ　，所以１＋　√　一＆＋ｂ＋￣／　≥２￣／　＋￣／　一（２＋　）．　，当且仅当ａ＝ｂ时，上式等号成立。　所以　。　故ＳｚｘａＢｃ—　１　专×（　）　一　１，ＩＮ　ＡＡＢｃ面　积的最大值为丢。　解法２：（工）因为ｓｉｎ　Ａ＋ｓｉｎ　Ｂ一（ｃｏｓ　Ａ＋ＣＯＳ　Ｂ）　ｎ　ｃ，所　ｉｎ　Ａ＋Ｂ　ｃｏｓ　＝＝：２ｃｏＳ　Ａ＋Ｂ?　ＴＴＡＡｃ。ｓ　Ｔ－－Ｂ?ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ）即２ｓｉｎ　Ａ＋Ｂ　Ｔ－－Ｂ一　，丁ｃ。ｓ　２ｃ。ｓ　Ａ＋Ｂ?２ｓｉｎ　Ａ＋ＢＡ＋Ｂ丁丁ｃ。ｓ　丁。　因为ｓｉｎ　Ａ＋Ｂ≠０Ａ下，ｃ。ｓ　Ｂ≠０下，所以　２ｃ。ｓ２　Ａ＋Ｂ一一１，即ｃ。ｓ（Ａ＋Ｂ）一０。　又０。＜Ａ＋Ｂ＜１８０。，所以Ａ＋Ｂ：＝：９０。。　故△ＡＢＣ为直角三角形，且　Ｃ一９０。。　（１Ｉ）因为ＡＡＢＣ为直角三有形，且口＋６＋Ｃ一１　＋　为定值，所以当且仅当ＡＡＢＣ为等腰直角三角　形时，其面积最大。　此时，ｎ—ｂ一　ｃ，ｆ　入口＋ｂ＋ｃ一１＋，／ｇ，得ｆ　一１。　从而ｎ一６一　，故△ＡＢｃ面积的最大值为　×　（　）　一丢。　三、证明：如图５，延长ＣＦ、　ＨＥ交于点Ｇ，联结ＡＨ交ＤＥ于　点Ｍ。　因为ＤＨ上ＢＨ，ＡＣ＿ｌ＿ＢＨ，　所以ＤＨ／／ＡＣ。　中学数学教学参考　２０１５５Ｆ－－第５期（上甸）　锄ＷＷＷ．ｚｈｏｎｇｓｈｕｃａｎ．ＣＯｉ＇／１　同理，ＥＨ／／ＡＢ。　所以四边形ＡＤＨＥ为平行四边形。　则Ｍ为ＡＨ的中点。　因为ＧＣ上ＢＣ，ＡＨ上ＢＣ，所以ＧＣ／／ＡＨ，　所以△ＣＥＧｃ￣△ＡＥＨ。　因为厂　（ｘ）－ｌｎ　ｘ＋ｌ，所以厂（ｚ）在（ｏ，　１）上单　调递减，在（　，＋。。）上单调递增。　又Ｍ为ＡＨ的中点，所以Ｆ为ＣＧ的中点。　１　所以，当ｚ＞０时，厂（　）≥厂（｛）一一　１。　①　令　（ｚ）一言一ｉ２，ｚ＞ｏ，则　（ｚ）一　。　因此，在Ｒｔ△ＧＨＣ中，有ＦＨ一÷ＧＣ＝ＦＣ。　厶　所以，　（ｚ）在（Ｏ，１）Ａｓ单调递增，在（１，＋。。）上单　四、解：（Ｉ）由对称性，设Ｂ（ｚ。，Ｙ。），Ｃ（ｚ。，　一　。），贝０　：＋　：一４。　所以　?　一（　。－－２）　一　一（ｚ。一２）　一（４一　）一２（　ｏ一１）　一２。　因为一２＜ｚ。＜２，所以当Ｘ０—１时，　?　取　得最小值为一２。　（Ⅱ）设Ｐ（ｚ　，Ｙ。）（　≠±Ｙ。），则ｚ；－４－ｙ｝＝＝＝４，直　线ＰＢ、ＰＣ的方程分别为　ＰＢ：　—　ｒＹｏ－－Ｙｌ（Ｘ－－Ｘ１），　一　ｚ。１ＰＣ．　一　（ｘ－－ｘ￣）。　分别令　—ｏ，得　ｚＭ一旦　，ｚＮ一　。所以　Ｙｏ’一Ｙ１　…一　一　一４。　于是，ｓ△ｍＭ?ｓ△　一　１　Ｉ　ＯＭＩ?Ｉ　ＯＮ　Ｉ?　一　１　ｌ　ｚＭ－ｚ　Ｉ?　２－　｝。　’　因为一２≤Ｙ　≤２，所以，当Ｙ　一２或Ｙ　一一２时，　Ｓ△删?Ｓ△刚取得最大值为４。　五、解：（Ｉ）当ｚ＞Ｏ时，不等式厂（ｚ）≥　１　ｇ（ｚ）即　为ｌｎ　≥丢（－Ｘ２＋ａｘ－－３），亦即ｎ≤２ｌｎ　ｚ＋ｚ＋导。　令　（　）一２１ｎ　ｚ＋ｚ－４－３（ｚ＞０），贝０　ｎ　≤［　（ｚ）］…。　因为　（ｚ）一　，ｚ＞ｏ，所以，函数　＾（ｚ）在（Ｏ，１）上单调递减，在（１，＋Ｃ×３）上单调递增。　所以［＾（ｚ）］　ｉ　一九（１）一４，则ｎ≤４。　故ｎ的取值范围为（一。。，４］。　（Ⅱ）要证１ｎ　ｚ＞｛一．ｅ　ｅ兰ｘ　＿，只须证ｚ１ｎ　ｚ＞　一＿ｅ　ｅ兰＿　，　即只须证厂（　）＞孝一　２，ｚ＞０。　调递减。　故　（ｚ）≤　（１）：＝＝一　１。　②　显然，不等式①、②中的等号不能同时成立。　故当ｘ＞０时，厂（ｚ）＞　（ｚ），即Ｉｎ　ｚ＞　１一盖ｏ。　六、解：先证明：对任意ｚ∈Ｒ，有　［ｚ］＋卜＋丢］＿［２ｚ］。　③　当０≤ｚ一［　］＜丢时，『ｚ＋　１］＝＝＝［ｚ］，［２ｚ］一　２［ｚ］，贝０［ｚ］＋ｌ　ｚ＋寺Ｉ一２［　］一［２ｚ］。　【　ｌ　当　１≤ｚ一［ｚ］＜１时，［ｚ＋专］一［　］ｑ－１，［２ｚ］　一２［ｚ］＋１，则［ｚ］＋卜＋丢］一２［ｚ］－ｔ－１－［２ｚ］。　综上，对任意ｚ∈Ｒ，③式都成立。　再证明：对任意ｋ∈Ｎ＋，有　＜ｎ　＜　２。　④　易知，。　的表达式共有２ｋ＋１项，将其按前ｋ项　和后ｋ＋１项分成两部分和：　ａｋ　口　１＋ａｋ２。　其　＋　＋．．斗　，　ｚ一——十　一　ｋ￣ｑ－ｋ＋　丽＋．十…十　．斗　＿＝二　。。　因为　１　一是?　＜ａ≤愚?　１一　１１　一　ｋ１，　（　）?　＜ａｋｚ＜（ｋｑ－１）?　一　，所以　＜一　。＜　。　故对任意志∈Ｎ＋，④式都成立。　由④式，得ｋ＜２由④式，得　－－＜ｋＡ－１口　－４－，，则『则ｌＬ　］盖Ｊ口＾　一忌。　又由③式，得［　］＋［　＋丢］一［　］一忌。　故∑　ｋ一１　（［　］＋［去＋丢］）一　（　＋１２　。）