二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6. （本小题满分10分）
已知函数f(x)?x?x?1.
(Ⅰ) 判断函数f(x)的奇偶性，并证明； (Ⅱ) 证明函数f(x)在(0,??)上为增函数.
7. （本小题满分10分）
已知关于x的不等式?x?ax?b?0的解集为A?{x|?1?x?3,x?R}. （1）求a、b的值；
（2）设函数f(x)?lg(?x?ax?b), 求最小的整数m，使得对于任意的x?A，都有
22f(x)?m成立.
8.（本小题满分10分）
对于函数f(x),若f(x0)?x0,则称x0为f(x)的“不动点”；若f[f(x0)]?x0，则称x0为f(x)的“稳定点”. 函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即
A?{x|f(x)?x},B?{x|f[f(x)]?x}.
（1） 设函数f(x)?3x?4，求集合A和B； （2） 求证：A?B；
（3） 设函数f(x)?ax?bx?c(a?0)，且A??，求证：B??.
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北京市西城区2009—2010学年度第一学期学业测试
高一数学参考答案及评分标准 2010.1 A卷 [必修 模块4] 满分100分
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.
1. B 2. A 3. B 4. B 5. C 6. D 7. B 8. C 9. A 10. B 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.（一题两空的题目每空2分） 11. (4,?6) 12. ?8 13.
2π4π42或 14. 45 15. ? 33716.
ππ?π?； ??sint2???，t?[0,??)（注：不写定义域不扣分） 33?2?三、解答题：本大题共3小题，共36分.
ππ??4?1. ??????4分 17.（Ⅰ）解：tan?????4?1?tan??tanπ2?4tan??tan（Ⅱ）解：由tan??3，得cos??0，
sin?cos??sin??cos?cos?cos? ??????8分 所以 ?sin??2cos?sin??2cos?cos?cos? ?tan??1?4. ??????10分
tan??218.（Ⅰ）解：在Rt?ABC中，斜边AB=4，A??，
所以AC?4cos?,BC?4sin?， ??????2分
11AC?BC??4cos??4sin??4sin2?. ???3分 22π 故当sin2??1，即??时，?ABC的面积有最大值Smax?4. ?????6分
4π （Ⅱ）解：由题意，得B???，
2 所以?ABC的面积S? 所以 AB?AC?BC?BA
π?|AB|?|AC|cos??|BC|?|BA|cos(??) ??????8分
222 ?16cos??16sin? ??????10分
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?16. ??????12分 19.解：（Ⅰ）由题意，得f(x)?a?(a+b)
?sinx(sinx?cosx) ??????1分 ?1?cos2x1?sin2x ??????3分 22 ?2π1sin(2x?)?. ??????5分 242 所以函数f?x?的最小正周期为π. ??????6分
（Ⅱ）由f(x)? 得当2kπ?2π1sin(2x?)?， 242πππ?2x??2kπ?时，f(x)单调递增， ??????8分 242 所以f(x)的单调递增区间是?kπ?，kπ???π83π?，其中k?Z. ???9分 ?8? （Ⅲ）以下先来研究函数f(x)?由x?[0,]，得-π2π1sin(2x?)?，x?[0,]的性质.
2242π3π ， 44π2π?2x4 则-2?sin(2x2π) 1， 4π2+12π1]， sin(2x?)?，x?[0,]的值域为[0,222423π3ππ]上单调递增，在区间[,]上单调递减. 882 所以，函数f(x)? 由（Ⅱ），得f(x)在区间[0, 函数f(x)?π2π1sin(2x?)?，x?[0,]的图象如下图所示. ????11分
2242由g(x)=f(x)-k=0，得方程f(x)=k.
所以研究函数g(x)的零点个数，实 际上就是研究方程f(x)=k的解的个数. 考察函数f(x)，x?[0,]和y?k 的图象和性质，
第 7 页 共 10 页 2?1 2y 1 ?3ππO 3 ? x 82 82π2 得当k?(??,0)(2?1,??)时，函数g(x)的没有零点；??????12分 22?1时，函数g(x)的有一个零点； ??????13分 2 当k?[0,1)，或k? 当k?[1,2+1)时，函数g(x)的有两个零点. ??????14分 2
B卷 [学期综合] 满分50分
一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.（一题两空的题目每空2分） 1. 4 2. 2 3. 2 , {x|1?x?4} 4.○1○2○4 5. 0，{0,?1,?2,?3,?4,?5} 二、解答题：本大题共3小题，共30分. 6.（Ⅰ）结论:函数f(x)是奇函数.
证明：f(x)的定义域为{x|x?R,且x?0}， ??????1分 且对于定义域内的任意x， f(?x)?(?x)?(?x)?1??f(x)，
所以f(x)是奇函数. ??????4分
??)上的两个任意实数，且x1?x2，则?x?x1?x2?0， （Ⅱ）证明：设x1，x2是(0， ?y?f(x1)?f(x2)?(x1?1111)?(x2?)?(x1?x2)?(?) x1x2x2x1 ?(x1?x2)?x1?x21?(x1?x2)(1?). ??????7分 x1x2x1x21?0， x1x2 因为0?x1?x2， 所以 x1?x2?0，1? 从而?y?0，
??)上的增函数. ??????10分 所以f(x)是(0，7.（Ⅰ）解：由题意，得???1?a?b?0 ， ??????3分
??9?3a?b?0第 8 页 共 10 页
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